一、ＰＣＫ与数学教师教育
（一）ＰＣＫ与数学教师教育
ＰＣＫ的提出与教师专业化（ｔｅａｃｈｅｒｐｒｏｆｅｓ－ｓｉｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ）的发展有很大关系。特别是将教学看作是一个专业（ｔｅａｃｈｉｎｇａｓａｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎ），把课堂教学的内容作为研究对象，这也是Ｓｈｕｌｍａｎ极力倡导的。教师教育的一个重要目标就是促进教师的学习，包括学习成为教师所需的各种知识与技能以促进未来的专业发展。然而，现有的教师教育课程对教师ＰＣＫ的重视还不够甚至是缺乏的。既有的培养模式常常会将学科知识与教师的教学实践脱离。在培养教师的综合大学或师范院校中，广泛存在三类课程：为加强教学法知识的教育学课程，为加强教师学科知识的专业课程，为了解学生学习特点的心理学课程等等。从课时安排上来看，职前教师（师范生）接受的课程大都是以专业课程为主，辅以少数的教育学、心理学课程，而它们之间又往往脱节，涉及具体专业课教学的课程不足［１４］２４４－２４７。这样的课程设置，一个潜在的假设便是大学的专业课程学习能够为中小学的教学做好准备。比如，通过修读大量数学课来扩充数学知识，学习心理学和教育学来增进对学生的了解，修读教学论或课程论来扩充一般教学法知识等。由于缺乏有效的融合与衔接，这些知识领域的学习往往处于分离的状态，造成“学了数学不知怎么用于教学，教学受阻而不知其中有何数学”。韩继伟的研究中就发现，无论新手教师还是经验教师，都认为其对中学数学知识的理解主要来自工作后自身的学习与反思，而无论是入职前的师范教育或入职后的在职培训均被认为是不重要的［１５］。这并不是说学科知识对教师的课堂教学不重要。事实上，发展教师的ＳＫ有助于ＰＣＫ的丰富；反过来，ＰＣＫ的发展可以进一步加深教师对ＳＫ的理解［１６］。学科知识在学科教育的重要性早就有过讨论［１７］５－９，但在我国近十年的数学课程改革中又出现了“去数学化”的倾向。课堂教学形式越来越丰富、生动，但课堂中学科本质缺失，出现为活动而活动，为提问而问。虽然“满堂灌”是填鸭式教育，但所灌的还是切实的知识，而假如满堂课只是充斥着学生不着边际的发问与对话，一堂课结束，可能一无所得［１８］４－５。教师教育的重心也常常在学科知识和一般教学法、教学技能或是教学模式之间摇摆，或过于重视学术性学科知识（重视学科知识的习得），或更为强调师范性（重视教学方法与技能的习得）。而且，在追求教学方法有效性的过程中也出现“模式化”、“样板化”（例如，到了一定时间就要分组讨论，到了一定时候就要学生总结）。教师教育课程未能真正从教师自身的教学现状与困境出发，未能考虑教学对象（内容及学生）的真正需求，以及引领教师持续的专业发展，怕是当前教师教育的症结所在。ＰＣＫ作为连接ＳＫ与学生学习的桥梁，应该在教师教育中得到足够的重视。
（二）发展教师的ＰＣＫＰＣＫ
与教师的教学实践息息相关，这也意味着我们在教师教育课程中融入ＰＣＫ的教学是基于实践性的。这种实践性会涉及具体的学科知识、学生的学习困难、教师的课堂布置等等，而非简单的“教育学＋数学例子”［１９］１－７。那么，如何发展教师ＰＣＫ？以数学学科为例，黄毅英教授提出，可以透过教与学中遇到的常见疑惑作为切入点，从数学史、数学原理以及学生的经验等角度讲授ＰＣＫ［２０］２７－３６。例如，“点没有大小，为何由点构成的线才具有长度？”这个问题涉及数学学习领域中的测量范畴，其中的学科知识（ＳＫ）是关于测度理论，其中的数学史关乎第二次数学危机，教师ＰＣＫ则要引领学生从可具体测量到剪贴各种公式，以至极限的逼近。引入数学史的意义，不仅在于它可能增添课堂学习的趣味性或引起学习动机，研究发现学生学习数学的历程同数学历史的发展有类似的地方，学生遇到困难的地方也会是历史上概念发展的转折期［２１］［２２］２２－２５。透过数学史去培训老师的ＰＣＫ，亦可从另一个角度掌握学生学习的困难，进而布置教学。在数学教师教育课程中，对于提升及发展教师的ＰＣＫ，除了我们前面提到的数学史、学生课堂学习的疑问、数学本身的原理以外，还可以包括引入基于教学现场的示范课、名师讲学、视频案例或课例分析等方式（见图１）。这些方式自有其益处，但也要小心，它们可能带来一种为找寻“最好（优）教学法”或“最佳教学模式”的期待。我们需要深思的是，教师教育课程是注重教师ＰＣＫ发展的持续性还是追寻“最优解”。
二、ＰＣＫ对教师教育的启示与反思
（一）ＰＣＫ的理论基础在哪？
在前面的分析中，我们似乎已经把ＰＣＫ当成一种当然存在的知识。然而，对教师知识进行划分，是带有主观意愿的，这也就不免产生ＰＣＫ是否是理论知识的疑问［２３］３０－３２。而如果我们追问究竟什么是ＰＣＫ时，其实涉及它的理论基础。一方面ＰＣＫ是否是一种确定的知识存在不同的看法［２４］３－１７，另一方面我们理解教师的知识基础缺乏实证研究的支持。Ｓｈｕｌｍａｎ的分类框架未有涉及具体的学科，亦非基于实证研究提出。Ｆｅｎｓｔｅｒｍａｃｈｅｒ便指出：尽管Ｓｈｕｌｍａｎ和他的同事对教师知识的关注加深了我们对ＳＫ和一般教学法知识之间关联的理解，但是他们这种认识论的框架是难以区别并进行分析的［２５］３－５６。从这个意义上来看，Ｂａｌｌ等人从实证的角度提出ＭＫＴ的工作值得我们借鉴。当我们的师资培训从早期传统的《中学教材教法》向现在的《数学学科教学论》、《数学课程论》、《数学教育学》、《数学教学设计》、《数学教育心理学》等转型时，我们需要思考：这种转型背后的理据为何需要有这样的转变？它们对于我国的数学教师教育又有怎样的贡献？教师教育的转型不应只是为吸收新的学术词汇以迎合改革潮流，不应只是停留在名称的转换上，更需要研究者从实证调查出发，从教师知识的来源，教师知识与学生成就的关系，教师知识对教师教学影响等不同方向构建起我国数学教师教育中的教师知识结构与体系。
（二）什么样的ＰＣＫ？
发展ＰＣＫ是为促进学生的学习，而因学生的不同应该会有不同的ＰＣＫ。换句话说，对于某种ＳＫ来说，我们需要多种不同的ＰＣＫ来应对不同群体的学生。这也令ＰＣＫ的培训变得困难。反过来，我们是否要找寻一套放之四海而皆准的ＰＣＫ（事实上也不可能做到）去应对所有的学生，还是尽可能装备丰富的ＰＣＫ以应对变化的课堂？能促进教师专业发展的教师教育，是要能让教师具有反思的能力，让教师成为反思的实践者［２６］。这不仅包含在教学实践中反思（ｒｅｆｌｅｃｔｉｎａｃｔｉｏｎ），也包括对教学实践的反思（ｒｅｆｌｅｃｔｏｎａｃｔｉｏｎ）。在教师教育课程中，可以让教师面对某一具体的教学情境提出多种可能的教法，除了分析教学现场，亦可限制或压抑其固有的、惯常做法，“迫使”他采用其他教学策略［２７］５－１３，从而丰富他的ＰＣＫ。图１中提到的一些手段应是激发教师反思的素材，只有启动教师自身的主动思考和反思能力，才能真正促进教师ＰＣＫ的持续发展。教师教育者也相应具备自身的ＰＣＫ。我们是否了解准教师已有的知识结构？是否知道采取何种教学方法和策略有效地讲授？教师教育者的作用不只是传授知识与技能，还需要营造一个学习的环境和社群。教师教育不单是满足个体教师培训或学习的需要，还要能帮助他们反思和设计自己的教学策略，同时还要能与他人分享自己的想法，让大家相互学习。故而，在教师教育中，我们有必要能将个人化的ＰＣＫ与集体化的ＰＣＫ融合，甚或学术化。
（三）ＰＣＫ之外：教师信念的影响
在影响教师教学行为的诸多因素中，除了教师具备的知识结构，教师的信念也越来越受到关注。教师除了需要掌握ＳＫ和ＰＣＫ以外，还需要知道其对学科本质的理解。有着非常相似数学知识的教师可以有非常不同的教学方式，这依赖于他们如何看待数学、数学教学和数学学习［２８］１－８。教师的数学信念主要表达的是教师对“数学是什么？”（数学的本质）、“数学该怎么教？”（数学的教）、“如何学习数学”（数学的学）的看法［２９］１－８［３０］１６－２２。这种数学信念在教师知识和其行为之间起着调节作用，它往往和教师知识一起共同影响着教师的教学［３１］１４５－１７２。在教师教育中，我们往往较着重于教师专业知识（无论ＳＫ、ＰＫ，还是ＰＣＫ）的培养，而忽视了教师信念的转变，这应是值得教师教育者关注的。作为数学教师教学的一种知识，ＰＣＫ所体现的意义不仅仅是数学学科知识和一般教学法知识的融合，亦是教学理论和教学实践的有机结合。它搭建起的是教师自身的学科知识与学生学习经历和理解之间的桥梁，兼顾教师学科知识和学生知识两个方面。在数学教师教育中，通过使用学生问题、数学史、案例教学等方式，能够帮助发展教师的ＰＣＫ。让教师能对教学实践进行反思，特别能透过教师教育中有限的ＰＣＫ的讲授，带动其自身主动地思考，进而形成与课程改革大环境相适应的教学信念，因时因地开发出更丰富的ＰＣＫ，并在教师社群中讨论与分享，则是当前教师教育乃至教师专业化更迫切的需要。
作者：张侨平 单位：香港中文大学
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