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微分中值定理中学数学论文

一、微分中值定理的推广

1.罗尔中值定理罗尔定理中,当函数y=(fx)能够满足闭区间[a,b]连续;开区间(a,b)可导;(fb)=(fa),至少会存在一点ζ∈(a,b)使f′(ζ)=0,其具体证明方法:(fx)在闭区间[a,b]连续,若最大值M与最小值m的存在,当M=m的时候,y=(fx)在(a,b)上是常函数,而且f′(x)=0恒成立,若最大值与最小值不能相等,在[a,b]上将存在极值点,将其设为x0,因此可得出f′(x0)=0,至少会有一点ζ∈(a,b)使f′(ζ)=0。从整个证明过程中不难发现,若函数(fx)在区间内存在导函数,那么区间两端必存在相等的极限值。2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理中,一般可通过构造函数法、区间套定理将罗尔定理在拉格朗日中值定理中的作用进行证明。若函数(fx)在(a,b)中可导,而且在两个端点存在左右极限,便会得出这样的结论。

二、微分中值定理在中学数学中的应用

1.讨论方程根的存在性问题

中学数学教学中,除二次方程根的问题较为容易,对其他复杂的方程往往会使学生无从下手,因此可结合微分中值定理进行分析并解决。通过给定闭区间[a,b]上的函数,只需保证区间内连续可导,而且以f(a)=f(b),便可通过罗尔定理解决方程的判根问题,具体做法为:首先命题条件,再进行辅助函数F(x)的构造,然后将F(x)验证以满足罗尔定理条件,最后做出命题结论。例如,f(x)在(a,b)上可导,在[a,b]上连续,证明(a,b)内,2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(x)至少存在一个根。对此,可首先使F(x)[(fb)-f(a)]x2-(b2-a2)f(x),其中F(x)在(a,b)上可导,在[a,b]上连续,F(a)=f(b)a2-b2f(a)=F(b)。至此,以罗尔定理为依据,将存在ζ使2ζ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(ζ),在(a,b)内,2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(x)至少有一个根存在。

2.证明不等式

不等式在中学数学中是重要的内容,微分中值定理在其证明上发挥很大的作用,具体可在不等式两边的代数式进行不同的选取设为F(x),通过微分中值定理,可得出一个等式,根据x取值范围对等式进行讨论,如对ln(1+x)≤x(x>-1)进行求证,当x=0时,ln(1+x)=x=0;x≠0时,对于f(t)=lnt,将1与1+x设为端点,并应用拉格朗日中值定理,在区间内的ζ使f(1+x)-f(1)=f′(ζ)(1+x-1),即ln(1+x)=xζ;当x>0时,ζ>0,0<1ζ<1,因此ln(1+x)≤x;当x<0时,0<ζ<1,1ζ>1、ln(1+x)与x为负值,所以ln(1+x)≤x,即对x>-1恒成立。

3.用于求极限

中枢穴中对于极限的问题,很多时候在使用洛必达法则,为教师及学生带来很大的计算量,但通过微分中值定理可为较难的极限问题提供有效且简单的方法,主要是通过对某些部分进行辅助函数的构造,通过微分中值定理的使用,得出极限。

4.函数单调性的讨论

对函数单调性的判断,采用微分中值定理的主要方法是:当f(x)能够满足闭区间[a,b]连续,开区间(a,b)可导,那么(a,b)中f′(x)>0,可推出f(x)在[a,b]上单调增加;若f′(x)<0,单调减少。尽管连续函数中的某个点可能存在无导数的现象,但对函数单调性不会有影响。另外,在中学数学中可能涉及到利用函数单调性求极值,此时首先可对函数定义域进行确定,并将f′(x)求出,在对定义域内所有驻点进行求值,找出f(x)连续但f′x)不存在的点,最后对驻点及不可导点附近f′(x)的符号变化情况进行讨论,确定函数极值点,以此求出极大值或极小值。

5.求近似值

中学数学中,微分中值定理在求近似值中的应用也比较常见,一般只需构造适当的函数,再通过微分中值定理的应用便可得出近似值。微分中值定理在中学数学中应用较为广泛,本文主要对其中常见的应用进行探析,并结合微分中值定理的推广以及其中关于拉格朗日中值定理、罗尔中值定理与柯西中值定理之间的关系做出相关研究,以此说明微分中值定理的应用价值。因此,中学数学中教师与学生应注意对其加以运用,促进数学教学与学习质量的提高。

作者:汪林林 单位:江苏师范大学


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