第一篇：高中数学能力的培养
一、培养科学的解题能力的必要性
实际上，高中数学的知识点并不是无规律可循的，而是彼此之间具有很强的逻辑性，只要学生通过比较科学的方法合理归纳，就可以找到其中的规律，进而更好地完成解题过程。教师在进行教学的时候，必须要明确教学中心和重点，将解题能力的培养放在教学的重要位置，使学生更好地掌握知识，享受解题的过程，进而牢牢把握知识。教师应该充分将一些科学的、合理的解题方法和思考思路传授给学生，在平时的课堂教学当中，要通过数学的方式对学生进行适当的引导，这样才能够更好地提升学生的解题能力。
二、培养解题能力的思路和方法
（一）熟知课本的基本数学概念，并通过此方法来进行解题通过教材当中一些数学定义来解决数学问题。在高中的数学课本当中，有相当多的公式、定理、性质以及法则都是根据书本上最基本的定义推理和演变出来的。学生应该格外重视数学的基本概念，在掌握数学知识的时候要有所针对，利用基本的数学概念进行解题，培养解题能力。（二）通过分类讨论进行分析和解题分不同情况来讨论问题也叫做分类讨论，是目前高中数学教学解题当中常见的一种方法。这种方法基本上渗透到高中数学教学的每一个章节、每一个方面，用途非常广泛。当我们进行分类讨论的时候，可能会有很多种情况出现，而每一种不同条件之下得出的结果都是不同的，这类问题就需要我们分不同的情况进行分析和解题。在解决这类问题的时候，我们首先要明确和确定主体，还要明确分类的标准，做到充分考虑到每一种情况和不同的结果，既不遗漏，也不重复，这也是我们进行分情况讨论解题需要遵循的最基本原则。（三）图形与数量相结合的解题方法这种方法在我们的高中数学解题当中也是比较常见的，一般而言，我们将这种方法简称为“数形结合”。这种解题思想应用的范围特别广泛。很多时候我们在解决某一问题的时候，如果只是单纯计算，可能会比较复杂，甚至很难想到其中的一些规律。这个时候就应该利用图形来帮助我们进行分析，我们可以画一些适合本题的草图来帮助我们更加明了地了解这些数据并且找到分析的突破口，进而更快地解决问题，获得答案。将这种数学解题思想应用到我们平日的学习当中，将会很明显地提高解题能力。（四）通过观察的方法来进行解题我们应该充分重视观察在数学解题当中的重要性。观察是解决一切问题的关键，我们可以通过观察一些现象和实际的操作来获得最终的结果。例如，在讲授“直线和平面平行关系”这一章节内容的时候，教师就可以通过观察的方法让学生来进行思考。提出一个简单的问题：如果一条直线与某一个平面平行，那么这个平面内的所有的直线是不是都与这条直线平行呢？针对这个问题，单纯的思考可能会比较困难，这个时候通过我们就可以利用观察法进行解决。我们可以将一支笔放到与讲桌所在的平面平行的位置，再将另一只笔放在桌面上，这个答案就会很容易被看出来。所以通过观察的方法来进行解题是非常有效果的，也是比较容易的。
三、提升学生解题能力的有效对策
教师只有找到适合学生的、便于学生理解的方法，才能够有针对地帮助学生提升解题能力。首先，强化学生的审题训练。学生在做题前要先审题，有针对性找到关键点对审题是非常重要的，通过题目当中暗含的一些条件找到解决问题的突破口也是非常关键的。其次，开展错题研究。教师要让学生将自己的错题分类整理，使学生在复习的时候更加有针对性。最后，要鼓励和帮助学生进行一题多解，培养学生思考问题的能力。对学生解题能力的培养和提升可以有效提高学生对数学知识的综合运用能力，进而提升高中数学的教学效果，提高学生的学习成绩。
作者：赵永斌 单位：浙江省文成县文成中学
第二篇：高中数学函数解法分析
一、函数单调性的解法
1．按照函数单调性的原始定义来解答目前的高中教材对函数的单调性是这样定义的:如果函数f(x)在定义域S内有意义，那么在定义域的任何一小段区间w内任取两个自变量x1和x2，并且满足x1＜x2．若f(x1)＜f(x2)，我们就说函数f(x)在区间w内是单调递增的，相反，若f(x1)＞f(x2)，我们就说函数f(x)在区间w内是单调递减的．需要注意的是，要想研究函数的单调性，一定要说明区间范围，否则是没有意义的．如果有一个函数f(x)=ax+b(a≠0)，试判断它的单调性，并求出它的单调区间．由题意，可以得到函数的定义域为x≠0，我们可以把这个定义域看为(－∞，0)∪(0，∞)，如果在区间(－∞，0)任意取两个数x1和x2，并且满足x1＜x2，令F(x)=f(x1)－f(x2)=ax1+b－(ax2+b)=ax1－ax2=a(x2－x1)x1x2，有x1x2＞0并且x2－x1＞0，那么就可以得到F(x)=f(x1)－f(x2)是大于0的，也就是说f(x1)＞f(x2)，由此可以得到函数f(x)在区间(－∞，0)也是是单调递减的．根据以上方法可以知道，函数f(x)在区间(0，∞)是单调递减的．2．利用函数的图象数形结合解题函数的单调性在图象上的体现就是在一个函数区间内如果图象从左往右看上去是一个上升的趋势，也就是说y随着x的增加而增加，那么函数在这个区间内就是单调递增的．相反，如果图象在一个区间内从左往右看上去是一个下降的趋势的话，那么函数在这个区间内就是单调递减的．高考题目其实是比较灵活的，但是实际上也只是对一些简单的知识进行组合，并不是对单一的知识点进行考查，所以学生一定要把一些简单的知识点掌握好．如果利用图象解题，一定要熟悉一些常见函数的图象．例如，函数f(x)=3x．它是关于原点对称的奇函数，所以它在对称区间内的单调性是一致的，在(0，+∞)上是单调递减的，在(－∞，0)上也是递减的，函数的单调性问题还可以用求导的方法去解答，如果一个函数y=f(x)在区间(c，d)内是可导的，并且导函数大于0的话，那么我们就说函数在区间(c，d)内是单调递增的，相反如果导函数小于0的话，那么我们就说函数在区间(c，d)内是单调递减的．导数法对于解决分式函数，高次函数的单调性问题是非常有用的．例如，已知函数y=x2－x3+5，试判断这个函数的单调性．我们可以对这个函数求导y'=2x－3x2=x(2－3x)，让y'=0求出相应的x值，x1=0，x2=23．y'＞0时也就是在x∈(0，23)时，函数是单调递增的，y'＜0时，也就是x∈(－∞，0)，x∈(23，+∞)时，函数是单调递减的．3．利用复合函数知识研究函数的单调性如果函数y=f［g(x)］是由函数y=f(u)，u=g(x)这两个函数复合而来的话，我们就称y=f［g(x)］是复合函数，而函数y=f(u)被叫做这个复合函数的外函数，函数u=g(x)被叫做这个复合函数的内函数．判断复合函数的单调性可以遵循相应的法则，如果复合函数的内外函数的单调性是一致的话，那么复合函数就是单调递增的，如果复合函数的内外函数的单调性是不一致的话，那么复合函数就是单调递减的．所以如果要研究符合函数的单调性，只需要把符合函数进行分解，看它内外函数的单调情况．复合函数的内外函数都是基础的函数，它们的单调性都比较容易判断，判断出它们的单调性之后，再利用符合函数单调性的法则，就可以得到复合函数的单调性．
二、结语
总之，对于函数的单调性问题有很多的解决方法，到底选择哪种方法最合适，还是要结合题目的具体内容．同时，在遇到此类问题的时候最好不要先选择用定义去解答，因为用定义解答往往比较烦琐，可以优先选择用函数的图象去解决，对于复合函数，则可以选择用复合法则来解决．
作者：刘正权 单位：江苏滨海县八滩中学
第三篇：高中数学之二项式定理
一、学情分析
任教的学生为普通班学生，学生的学习兴趣也比较高，理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有归纳猜想能力，但学习所具备的语言表达及想象能力相对不足，学习方面有些困难。本节课是在组合和多项式乘法的基础上，进一步学习二项式定理的内容，这一部分内容共安排两课时，本节是第一课时。设计思想：现代教育教学的核心是“以学生的发展为主体”，注重学生的学习状态，激发学生的学习兴趣。注重教学过程中学生的主体地位和教师的主导作用的发挥，尊重学生的人格和个性差异，鼓励学生发现、探究、质疑，培养学生的创新精神和实践能力。二项式定理这部分内容比较枯燥，怎样发挥学生的主体作用，使学生自己探究所学习内容、建构知识模型，是本节课教学设计的核心。因此，我采用启发探究式教学方式：一是从已学的组合数问题引出课题。使学生体会到数学知识是普遍联系的，学过的知识是未学知识的基础。二是从特殊到一般。面对一般问题，学生会想到从特殊情况入手，让学生自己探究n=1，2，3，4，...时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的内容。三是采用小组合作交流的方式。小组内的同学共同归纳二项式定理的内容，由特殊推广到一般。四是教师在恰当的时候启发学生的探究过程。本节课的难点在于确定二项展开式中每一项的二项式系数，对于普通班的学生，独立归纳结论会有些困难，教师恰当的引导启发，尤为重要。
二、教学过程
课前三分钟：二项式定理与我国历史上著名的数学家杨辉有关，课前三分钟安排学生讲读《杨辉的故事》是对学生进行爱国主义教育，也是数学教学的一个任务。1.组织教学，进入状态1′：由课前《杨辉的故事》很自然的进入本节课题——二项式定理。2.提出问题，引入新课5′问题一（请用组合数表示）：四个盒子内各有一红一蓝大小和质量完全相同的小球，从每个盒子里各取出一个球，有几种不同的取法？每种取法各有多少种？多媒体显示（帮助学生理解思考过程，使问题更清楚）问题二：不作多项式运算展开(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)，展开式中有哪些项？各项系数各是什么？设计意图：通过这二个问题创设学习情境，用已学过组合的知识去探究新知，激发学生的求知欲望，通过联系类比的方法来解决问题。3.设置问题，合作探究8′思考1：展开式（a+b）2=?（a+b）3=?（a+b）4=?思考2：展开式中的项数有什么特点？思考3：展开式中各项的次数有什么特点？思考4：以(a+b)4为例，为什么展开式中每一项的次数都是4？设计意图：鼓励学生亲身体验怎样解决新问题，培养学生的合作交流意识。教师的及时鼓励、表扬，保持学生学习热情，通过交流与学习，学会用他人的研究成果来充实自己。通过交流得出以下结论：解答1：分别是3、4、5项，和每个展开式中次数的关系是展开式的项数=次数+1。解答2：第一个展开式中的每一项都是2次第二个展开式中的每一项都是3次第三个展开式中的每一项都是4次解答3：（a+b）4相当于（a+b）4个因子相乘。在每个因子里要么取a，要么取b，展开就是4次的。趁热打铁，教师继续引导启发，你是否能展开（a+b）5然后小组讨论（a+b）n的展开式?(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2++Cnkan-kbk++Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫做二项式定理。（1）等号右边叫做二项展开式（2)其中Cnm（m=0、1、2、n）叫做二项式系数.（3)第m+1项用Tm+1=Cnman-mbm表示即通项公式设计理念：学生在探究过程中通过观察、发现、类比进行必要的归纳和合理的猜想从而得出结论。4.内化知识，深入认识3′教师引导学生观察(a+b)n的二项展开式，解决以下问题：（1）二项式定理展开式项数、次数的特点是什么？（2）二项式定理展开式系数的特点是什么？（3）二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？与此同时，特别强调以下几个方面：（1）项数：和n的关系；（2）指数：字母a,b，的指数和为多少，字母a、b的指数是如何变化的？（3）二项式系数：系数中的下标、上标是如何表示的；（4）通项：指的是第几项，该项的二项式系数是什么？小组同学带着这些问题去讨论交流，能加深对二项式定理内涵的理解，能够得到下面的结论，解答：1）展开式共有n+1项。2）各项的次数都等于n字母a的指数由n递减到0，同时字母b的指数从0递增到n3）通项公式Tm+1=Cnman-mbm(m=0,1,2,3n)4）二项式系数Cnm(m=0,1,2,3,n)5.例题示范，学会应用10′例1：展开(a-b)n和(1+x)n例2：求(a+2b)5的展开式例3：求(1+2x)7的展开式中第4项思考1．例题2中第三项的系数是多少？思考2．例题2中的第三项的二项式系数是多少？你能得到什么结论？说明强调：二项式系数与项的系数是两个不同概念。思考3．若例2中只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？哪种方法更好？6.课堂练习、提高能力10′（1）（1+1/x）4，写出(p+q)7的展开式.（2）求(2a+3b)6的展开式的第三项.求(3b+2a)6的展开式的第三项.（3）（x-1)10的展开式的第六项的二项式系数说明强调：习题的配备，是为了加强学生对定理的理解和应用。7.归纳小结，巩固新知2′1.学生的学习体会与感悟；2.教师强调：（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法。（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯。（3）二项式定理中的二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现。
三、自评反馈与反思
1．探究与合作。本节课采用探究式教学方式，注重学生的学习状态，注重教学过程中学生主体地位的体现。学生在接受、掌握知识的同时，学习能力与思维方法得到提高，合作的意识得到加强．2．德育渗透。通过对二项式定理内容的研究，学生体验了从特殊到一般发现规律，从一般到特殊的指导实践的认识事物过程．通过对二项展开式结构特点的观察，学生体验到数学公式的对称美。3．课后反思1）是掌握二项式定理重要还是使学生理解二项式定理的形成过程重要？2）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，还是培养学生对知识的迁移能力？
作者：王元 单位：吉林工业经济学校
第四篇：高中数学高效课堂
一、课堂教学中的情景教学
合适的情境教学模式可以有效提高学生的思维能力和解决问题的能力。在高中数学课堂上创设教学情景，使学生不断产生学习兴趣，让学生投入到学科知识中，有利于数学高效课堂的创建。1.创设有效的教学情境。教师要注重数学知识与实际生活的联系，运用数学知识的实际运用来提高学生自主探究数学知识和学习数学的能力。例如，对课本上的公理、定理、公式的讲解，教师可以利用生产、生活中的实际问题为素材，紧密联系学生的生活实际，创设学习情境，引导学生将生活经验联系到数学概念和方法上，激发学生浓厚的数学学习兴趣，促进高效课堂的建立。2.灵活变题，变迁情境。教师要注重情境的变迁，引导学生随着由浅到深问题的解决，渐渐适应较为复杂的问题，逐步养成用数学思想看待和解决实际生活问题的习惯，培养举一反三、灵活应变能力。情景教学能够培养学生自我学习以及自我知识更新的能力。高中数学课堂上教学情景的设立要依据一定的原则，要为学生学习提供有效的、有吸引力的信息，将学生在课堂中的积极性调动起来，让学生保持充足的数学学习兴趣，在轻松愉快的气氛下学习到更多的知识。这样才能更有利于高中数学高效课堂的实现。
二、使用多媒体教学
数学有很强的抽象性和逻辑性，而多媒体教学的交互性、可控制性、大容量性、快速灵活性等特点正好符合数学教学要求。因此在高中数学课堂教学过程中，教师要运用现代多媒体信息技术组合教学方式，对教学活动进行创造性设计，将传统的教学手段与现代媒体教学有机地联系起来，发挥计算机辅助教学的特有功能，以提升数学教学的有效性。1.多媒体可以很好地展示事物发展或推理全过程，使学生更容易理解数学知识，有利于提升数学课堂效率。例如，在讲三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象时，多媒体可以利用它的图画特性将抽象的、理论的东西形象化，将空间的、难以想象的内容直观化，使学生能够直观清晰地观察各种情况时函数图象之间的关系，这样有利于学生对知识的建构，有利于学生创新思维的培养。因此，在课堂教学中，教师必须通过多媒体技术教学有意识地设置能启发学生创新思维的题型，借助多媒体技术教学方法与手段，提升高中数学课堂教学效果。2.多媒体强大的交互功能能激发学生的学习兴趣，促使学生学习效率提高。多媒体强大的交互性使得课堂教学中原本枯燥的知识说教更生动化，更易激起学生强烈的好奇心与求知欲，使学生与教师能自由调整和控制学习进程，使学生在好奇心的驱使下积极愉悦地进入最佳的学习状态，有利于构建高效课堂。构建高效课堂是推进素质教育、深化课程改革的关键和根本要求。高中数学教师要结合高中学生实际认知发展规律与学习特点，有针对性地结合教学内容，设计符合学生认知和发展的教学方案，选择恰当的教学方法，不断更新自身的教育观念以及教学模式，激活学生的主观能动性，最大限度地调动学生学习数学的积极性，激发学生对数学进行探索与研究，提升高中数学课堂教学效率，实现数学高效课堂。
作者：张红英 单位：河北省邢台市第五中学
第五篇：微积分与高中数学的衔接
1高中数学课程内容改革的现状
2002年版大纲同时保持了1990年、1996年、2000年版大纲的各显著特点。1990年：常用对数由初中移至高中，部分高中教学内容由必学改为选学，明确说明文史类、理工类要求范围；1996年：确定各类学生选修内容；2000年：重视创新意识和实践能力的培养；重视改进教学测试和评估。而2003年出版的《普通高中数学课程标准（实验）》进一步弱化反函数概念的要求，不再出现反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx表示，且“只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义和求已知函数的反函数”〔3〕。参数方程与极坐标在选修课系列4中（10个专题，对理科最多也仅建议选择6个专题）作为单独的一个专题出现。极坐标部分要求能进行极坐标和直角坐标的互化；能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程；了解柱坐标系、球坐标系。参数方程部分要求能写出抛物运动轨迹的参数方程、圆和圆锥曲线参数方程；了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程；了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。“数列极限、函数极限，函数的连续性”在新课标中不再被要求，但导数的意义文理科都做了加强。理科还增加了定积分的内容。从以上分析可看出，新课程标准进一步降低了过去高中数学内容中多数学生普遍感到难于接受的反函数的较深要求，且反三角函数等内容不再出现。实践已证明，此部分内容对绝大多数学生是难理解的内容，这种难于理解的内容，往往打击了学生的学习积极性，不利于学生对数学的学习。这样的处理体现了“应删减繁琐的计算、人为技巧的难题和过分强调细枝末节的内容”〔3〕和尊重高中学生的年龄特征和认知规律的改革思想。而对“数列极限、函数极限，函数的连续性”的处理也是基于同样的思想。导数的加强则体现了“在义务教育阶段之后，为学生适应现代社会生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；为学生进一步学习提供必要的数学准备”〔3〕和发展学生的数学应用意识、激发学生的学习兴趣的理念。参数方程与极坐标部分的处理体现了“尊重一部分学生怕学习较难数学内容的事实，充分以人为本，同时加强基础性、应用性的内容”的理念。2003年出版的《普通高中数学课程标准（实验）》的选修内容进一步扩大，选修课系列3、4共有16个专题，为学生提供了多种选择，充分尊重学生的兴趣、发展的意愿和不同的数学需求。
2近几年中学教材关于函数、微积分的处理状况
在根据2002年版大纲编著的高中教科书（以人教版2003年审查通过教材为例）中，在初中以变量引入函数的基础上，通过对应关系的思想引入函数，并将其推广（从数集到一般集合），给出了映射的概念。并引入了奇偶性、周期性、单调性（仅给出严格单调的情况），但对最小正周期仅做了简单介绍，并未证明各三角函数的最小正周期。为降低理解的难度，反函数的引入先说明用y把x表示出，得到x=(y)，再通过映射的思想定义反函数。事实上，“用y把x表示出，得到x=(y)”，一话带有局限性，并非所有反函数都有直接表达式x=(y)。极限方面以实例为基础，通过定性的描述（无限趋近于）引入数列和函数极限概念，并通过函数图像，计算器计算值等方式引入一些具体的极限。函数极限的四则运算法则则直接给出，并将数列作为函数的特例引入数列极限的四则运算法则，而其它极限的性质未给出。连续概念则通过图形（连续和不连续的各种情况）引入，并从几何直观上看出在闭区间上连续的函数的最值性。对间断点未进行讨论。导数的引入方面，理科完全与大学一致，但文科仅通过瞬时速度、切线斜率、边际成本的实例描述性说明极限，进而引入导数及导函数概念，并直接给出和、差及常数与函数的积的导数公式。理科除商的导数公式直接给出外，对和、差、积的求导公式都进行了证明，复合函数求导公式则通过简单实例引入法则，未处理复杂的复合函数求导；导数的应用方面，通过对切线斜率的正负和函数图像的观察得出导数符号与单调的关系；同样通过对函数图像的观察引入了极值概念和应用导数判断极值的方法和求闭区间上连续函数的最大、最小值的方法，还通过面积一定，考虑容积最大的问题，容积一定，考虑用料最少问题介绍了最值方法在现实世界中的应用。《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》中，函数的处理类似大纲版教材，但仅仅由指数与对数的关系引出指数函数与对数函数互为反函数的关系，对反函数未进行更多的讨论。以52为例对无理数指数幂进行了简要说明（2002年大纲版完全回避无理数指数幂）。对导数，则完全回避极限概念，通过气球膨胀率等较新的实例，直接用极限符号（用趋近于的思想来说明）和瞬时变化率定义导数（既然已用极限符号，没必要刻意回避极限概念，可先用趋近于的思想来引入极限）。在推导出简单的几个基本初等函数求导公式的基础上，直接给出8个基本初等函数求导公式以及和、差、积、商的求导公式，在此基础上，理科简要通过实例引入复合函数概念及求导公式。在导数的应用方面，文、理科无论是单调性的讨论，还是瞬时变化率、最值问题在现实世界中的应用，都在例题和习题方面做了大大加强，更具生动性、现实性和趣味性，并上升归结出数学建模的思想。因为无连续函数的概念，教材都简单用一条连续不断的曲线来说明最值的存在性。定积分方面，通过曲边梯形面积、汽车行驶的路程问题归结出用4步（分割、近似代替（以直代曲、以不变代变）、求和、取极限）定义定积分（但未指出分割的任意性，仅用n无限增大来考虑和式的极限，未考虑无限细分，n无限增大与区间长的最大者趋于零的关系）。并以变速直线运动的运动规律y(t)与速度v(t)的关系和分别以y(t)和v(t)表示时间段[a,b]内的位移的问题得出微积分基本定理，但未引入原函数的概念。定积分的性质、计算方法都未讨论。应用方面主要介绍了在几何方面的应用和在物理方面的应用（变速直线运动的位移，变力做功）。虽然定积分在数学的实际应用中起着重要的作用，教材已降低难度，但学生对定积分定义中的“分割、近似代替、求和、取极限”的理解非常困难，特别是对微积分基本定理的引入思路的理解感到困难，这种困难极易击伤学生学习数学的积极性。事实上，真正利用定积分处理实际问题，往往都最少要有大学相应专业的知识。而在大学都要学习微积分，因此笔者个人认为中学没有必要学习定积分。
3大学数学分析课程关于函数、微积分处理的现状
大学数学分析课程现使用的教材大都是80年代编写版本的基础上，总结过去使用的经验，参考国外教材和新成果修订多次后的版本，多数都注意引入国外新的、好的处理方法，例如：对limn→∞(1+1n)=e的证明〔4〕就引用了Amer，Math.Monthly上的方法。但都忽视了与中学数学教学改革的联系。函数部分，用映射（对应）的思想定义了函数，并花一定篇幅引入了函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性。除了有界性外，函数定义和其它性质的引入方式完全与中学一致，虽然，一些内容进行了比中学深入的讨论，但都作为新的知识，花了一定篇幅引入。反函数概念比中学深入，但将反三角函数作为学生已知的概念直接给出。通过确界或极限思想圆满给出幂函数的定义。极限方面，严格进行了定义，并通过ε-δ,ε-N语言深入讨论了极限的各种性质、常见的各种极限式和极限存在的条件。连续性方面，则通过极限、左、右极限，深入讨论了连续、间断、连续函数的性质，完整给出初等函数的连续性。导数概念，基本导数公式，和、差、积、商的求导公式都作为新知识再次进行了引入和证明。虽然关于导数的四则运算（商除外）在高中已有证明（大纲版），但大学课本仍然花许多篇幅进行证明。导数的应用也做为新的内容进行处理，但与现实世界的联系方面例题和习题不多且陈旧，未引入数学建模的思想。定积分则通过曲边梯形、变力做功问题引入严格定义（特别强调无限细分、分法的任意性和取点的任意性），用定积分定义和微分中值定理证明了微积分基本定理。深入讨论了定积分的性质。应用方面增加了广度和深度。参数方程和极坐标在数学分析中都作为学生已知的知识在定积分等部分有一定应用。因此，许多中学已引入的概念、方法和完全处理过的问题在大学数学分析中进行了完全一样的重复，而中学未加深讨论的内容，往往大学也未深入讨论。一方面作为学生已学习过的知识，再进行相同的重复，学生易厌倦和反感。另一方面，对于中学未进行深入讨论，特别是未从思想方法上进行分析的概念和方法，在大学仅仅进行简单的重复，学生未能获得比中学更深的知识和方法，没有新颖性吸引学生。
4大学数学分析课程与中学内容衔接的教学建议
近几年，大一学生既有使用过根据《全日制普通高级中学数学教学大纲》编著的教科书的学生，也有使用过课程标准实验教科书的学生。这增加了大学教学难度。新生入学后，数学分析教师应对学生进行调查，做到教学心中有数，应针对多数学生设计教学方案，注意分类教学和组织学习兴趣小组等形式的学习，并加强课外辅导。函数部分，在复习中学已学习过的函数、反函数、奇偶性、周期性、单调性的基础上，加强对应思想、映射思想、反函数、严格单调性、最小正周期的理解，通过证明反函数存在的条件，加深对反函数的理解，并引入反三角函数。在中学知识的基础上严格引入指数函数。虽然分段函数和复合函数在中学已学习过，但对一般院校的多数学生而言，对其理解不深，可通过各种类型的习题加强对这部分内容的理解，特别是加强复合函数的拆分，为后面熟练掌握复合函数的求导和换元积分打下坚实的基础。举例说明证明各三角函数的最小正周期的思想。函数的有（无）界性中学未接触过，而且有一定的抽象性，此部分在引入概念后，应当加强练习，特别是无界性的证明，为更抽象的极限定义做准备。近两年内，用大纲版教科书的学生要多（云南2009年才开始全面使用课程标准实验教科书）。针对这部分学生：对极限概念，一定要在复习中学已知的定性描述的基础上，通过距离与差的绝对值的关系引入极限的ε-δ,ε-N定义，强调其几何意义，并严格证明每一个基本极限和性质，极限性质的证明应当充分利用其几何意义引导学生理解性质和其证明思想。通过几何直观并以复习的形式引入连续性，结合几何图形，深入讨论间断点及其分类、闭区间上连续函数的性质及其应用、一致连续性、初等函数的连续性。加强分段函数分段点处连续性的讨论。导数概念，常见导数公式，和、差、积的求导公式都可以复习的形式引入，对公式的证明在复习的基础上强调证法的关键点，而商的求导公式中学没有的证明，需进行加强，复合函数求导公式的证明和应用应当作为教学重点，特别是应用部分，可分两阶段进行巩固。第一阶段：先拆分函数（引入中间变量符号），再求导（让学生反复练习）；第二阶段：不写出中间变量，直接求导（可先对已讲例题进行示范，并让学生练习已做习题，最后增加新的复杂习题）。在通过左、右导数求分段点处的导数的基础上，后期给出应用导数极限定理求分段点处导数的方法。导数应用方面，加强导数的实际背景、数学建模思想和新的实际应用方面的例题。而对使用课程标准实验教科书的学生，整个导数应用部分可作为已知内容进行复习总结并进一步深化数学建模思想，而极限、连续则需要花较多时间，按新内容引入和讨论。在定积分涉及参数方程和极坐标之前，无论对哪一类学生都应简要引入参数方程和极坐标知识，为其使用服务。对用新课标教材学习过定积分的学生，在复习中学已学内容的基础上，给出定积分严格定义和引入微积分基本定理，有机将中学内容和更深的大学内容衔接起来。通过对比，强调中学定义的粗糙性。高中新课程标准要求发展学生的数学应用意识（新课程标准实验教科书导数应用方面的许多例题和习题值得大学参考），大学更应重视培养学生的数学应用意识，在数学分析课程中，应当以函数思想为中心，进一步通过数学建模思想的渗透，加强应用背景和应用问题的教学。闭区间上连续函数的最大、最小值方法部分就可强调方法的背景和应用，引入一些新颖的与生活实际息息相关的应用问题，通过这样的实例，激发学生的学习兴趣。例如，数学分析中的最小二乘法有非常丰富的实际应用背景。教学中可首先引入一个与最小二乘法有关的实际问题——“计划性升血”（癌症治疗的过程中，寻找最佳升白细胞的用药时机）〔5〕，从这一问题中自然引入最小二乘法的思想及方法，提高学生的学习热情，加深学生对方法，特别是抽象的数学方法在实际问题中的应用思想的理解。高中新课程标准特别强调倡导自主探索、动手实验、合作交流、阅读、自学等学习数学的方式，大学教学也应当加强这些教学方式，不但在内容上与中学有机衔接，在教学方法上也应当衔接好。
作者：杨泽恒 付卓如 单位：大理学院数学与计算机学院 大理州实验中学
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