一、对正态性假设的检验
VaR（Value-at-Risk：风险价值）是指在一定的置信度下，在一定的持有期内的最大可能损失。VaR有相对和绝对之分，绝对VaR是指相对于当前头寸的最大可能损失，相对VaR是指相对于未来收益期望值的最大可能损失，不难发现，在未来收益零均值的假设条件下，绝对VaR与相对VaR是相等的。计算VaR值的方法有方差—协方差方法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法，其中方差—协方差方法以其简洁性、准确性而更多地被采用，J.P.Morgan集团推出的名为RiskMetrics的方法和数据为运用方差—协方差方法计算VaR提供了极大的便利，但是这种方法通常假设几何收益率服从独立异方差的正态分布，即：rt=㏑Pt-㏑Pt-1～N（0,σt2）（1）其中rt为几何收益率，即对数价格变化，它与算术收益率Rt=(Pt-Pt-1)/Pt-1的关系为rt=㏑（Pt/Pt-1）=㏑(Rt+1)，用Taylor级数展开，取一阶近似，可得rt≈Rt，但几何收益率具有比算术收益率更好的性质，所以此处常用几何收益率表示；Pt为t期价格，随着时间改变而波动；0表示的是收益率的零均值假设，显然此时绝对VaR等于相对VaR；σt为收益率的标准差，这里考虑了标准差的时变性。这个公式反映的就是收益率的正态性假设。在对很多金融工具的收益情况进行分析时，发现这种正态性假设存在偏误，因为大多数金融资产收益的实际分布相对于正态分布而言具有厚尾的特征，这里就将对中国私募证券基金收益率进行正态性检验。此处正态性检验中价格的波动使用的是融智·中国对冲基金指数的变动，并据此计算收益率，采用2007年1月至2012年6月的月度统计数据，共66个收益率数据，其时变标准差采用周期为12个月的收益率进行估算，即：σt=，（2）也就是用过去12个月的数据估计未来一期的标准差，从而可以消除月份、季节等变化的影响，这样可以计算出2008年1月至2012年6月共54个月的标准差数值。以这些数据为基础，以下将进行三个方面的检验，分别为VaR与实际损益的对比检验、正态分布的假设检验以及偏度和峰度检验。
（一）VaR与实际损益的对比检验
假设资产头寸为1，则VaR值表示的是最大可能损失占总资产的比重，而收益率表示的是实际损益占总资产的比重，所以此处就将这两个比例进行比较，以检验基于正态性假设的VaR值对风险的估计精确度，这里与收益率对比的VaR为绝对VaR。根据VaR的定义，对于给定的置信水平（1-c）,有：P（rt<-VaR）=c，（3）经标准化变换，则：（4）由于：（5）可解得：（6）其中为标准正态分布的下c分位数。根据已有数据，可以计算出2008年1月至2012年6月共54个月的VaR值。下表列出了4个不同置信度下的VaR值与实际损失的对比情况：从表1中不难发现，在各个置信度下实际损失超过VaR的比例都大于理论损失超过VaR的比例，这意味着存在风险低估的问题。整体来说，实际损失超过VaR的平均比例为6.02%（=（7+3+2+1）/(54×4)），大于理论上的平均超过比例4.63%（=（10+5+2.5+1）/(4×100)），可知基于正态假设的VaR对整体风险也是低估的。这说明收益的实际分布与正态分布相比具有厚尾性。
（二）正态分布的假设检验
通过以上的对比检验可知，正态性假设并没有完全扭曲收益率的现实分布，只是存在一定程度上的误差，正态性假设在中国私募证券基金收益率分布上的合理性如何，下面将分别对正态分布以及其均值和方差进行假设检验。为了便于检验，首先对收益率数据按其均值和对应标准差实行标准化变换，如上式（5）所示，则原检验问题转变为标准化收益率服从标准正态分布的检验问题，受假设检验数据限制，选取2008年5月至2012年6月共50个标准化收益率数据，选择显著性水平=0.05，则对其正态性、均值和方差三方面的假设检验结果如下通过表2可知中国私募证券基金收益率的正态性假设具有一定的合理性，并且其时变方差的假设也较合理，但不能据此认为其收益率一定服从正态分布，只能说实际分布与正态分布相似度较高或者偏差不大，下面将用偏度检验与峰度检验来具体考察它与正态分布的偏差。
（三）偏度检验与峰度检验
偏度检验与峰度检验是两种重要的非正态性检验，并且偏度系数和峰度系数的正负和大小可以说明实际分布偏离正态分布的位置和程度。以下还将使用2008年5月至2012年6月的50个标准化收益率数据进行检验。先进行偏度检验，取显著性水平=0.05，则根据临界值可知，正态分布的拒绝域为：{SK：0.53}，经计算可得偏度系数SK=-0.371，在拒绝域之外，因此不能拒绝正态性假设，再用标准误对其进行考察，偏度系数标准误，偏度系数落在2倍标准误之内，即（-0.692,0.692），说明标准化收益率具有较好的对称性。接下来进行峰度检验，但是峰度检验只宜用于样本数据n≥1000的情形，所以这里只用标准误对其进行考察，峰度系数标准误，峰度系数K=-0.336，落在2倍标准误之内，即（-1.386,1.386），满足了正态性标准，但是K<0，说明实际分布相对于正态分布更为扁平。经过偏度检验和峰度检验，仍旧无法拒绝正态性假设，再次证明了正态性假设具有其合理性，但是通过峰度系数的符号可知，标准化后的收益率具有比正态分布扁平的特征。综合以上三方面的检验可知，中国私募证券基金收益率基本满足方差时变的正态分布，但也发现实际分布相对于正态分布具有扁平、厚尾的特征，从而导致使用正态性假设会对风险有所低估，因此需要采用更合理的分布假设对其进行模拟。t分布正好满足了与标准正态分布相似且具有扁平、厚尾等特征，如图1所示，所以以下将尝试用t分布假设来修正正态分布假设，并求出中国私募证券基金收益率经标准化后所服从t分布的自由度。
二、t分布假设
现在假设经标准化后的收益率服从t分布，而非标准正态分布，即：各符号表示的含义与前面相同，其中n为t分布的自由度，是一个待定参数，确定n的原则是使t分布假设尽可能准确地估计中国私募证券基金的风险值。基于t分布假设的VaR值计算方法也与前面类似，只是以（7）式代替（5）式，最后解得：其中为t(n)分布的下c分位数。以下将使用中国私募证券基金2008年1月至2012年6月共54个标准化收益率数据求解t分布的自由度，并分析用t分布假设修正正态性假设的合理性。首先，t分布假设要对不同置信度下VaR值的总体估计准确，则在90%、95%、97.5%和99%的置信度下实际损失超过VaR的平均比例应等于其理论比例，即4.63%，可得4个不同置信度下实际损失超过VaR的总月数为10（=54×4×4.63%），如果假设对应于90%、95%、97.5%和99%置信度分别有n1个月、n2个月、n3个月和n4个月超过，则有：n1+n2+n3+n4=10，(9)其中n1、n2、n3、n4均为非负整数。其次，还要保证不同置信度下的VaR值分别估计尽可能准确，既不高估，也不低估，即要求的值都尽可能最小，由于n1、n2、n3、n4之间有（9）式的制约关系，所以可以构造函数：，（10）则要求Q的值尽量小。联立（9）、（10）解出使Q尽量小的前6组解如下表：理论上是Q的值越小越好，但在现实中不一定能实现，因为n1、n2、n3、n4对应的是90%、95%、97.5%和99%置信度下实际损失超过VaR的月数，不一定存在自由度n使4个置信度下实际超过的个数与某一组解完全吻合，例如解①，根据t分布假设下VaR的计算可知，使n1=5、n2=3、n3=1、n4=1的自由度n取值范围分别是[6,11]、[17,45]、[7,14]和[1,45]2，它们的交集为空，所以第1组解没有与之对应的n值。运用同样的方法，可得前5组解均没有n值，第6组解在n=15或16时成立，从而这是使Q尽量小的最优解。由上述讨论可知，自由度为15或16的t分布能最优拟合中国私募证券基金标准化收益率的分布特点，并且它优于正态分布，一是因为它对不同置信度下整体风险的估计更精确，实际损失超过VaR的平均比例为4.63%（=（6+2+2+0）/（54×4）），与理论值相等，二是因为它在各个置信度下的分别风险估计也更准确，Q=0.000536，相对于正态性假设下Q=0.001126要小得多，因此在中国私募证券基金VaR值的计算中收益率的t分布假设比正态性假设更合理。
三、结论
以上运用融智·中国对冲基金指数分析了VaR方法在中国私募证券基金风险管理中的应用及其局限性，着重对收益率的正态性假设进行了探讨，发现自由度为15或16的t分布能比正态分布更好地模拟中国私募证券基金收益率的分布特点，这与Jorion在其著作《风险价值VaR》中提到的典型金融工具t分布自由度为6的假设有所不同，这可能与中国私募证券基金独特的运作方式与发展环境有关。
作者：汪浩 于宛冬 单位：吉林大学经济学院
