一、引言
竞买人能够判断拍卖频段的价值在某一个确定的取值区间内。因而适合用三角形分布［3］来表示竞价偏好的概率分布，建立基于三角形分布［4］的频谱使用权一级密封拍卖竞价博弈模型。随着无线电行业竞争的不断加剧，作为无线电运营企业之间为获得频谱使用权的竞争也会更加日趋激烈，无线电运营企业对频谱使用权出让的研究将会成为无线电频谱领域的一个新的研究点。国内关于竞价策略的研究较多集中在电力市场［5］，对于拍卖竞价策略的研究甚少，而且通常为了研究的简便，将模型假设为竞买人的偏好服从均匀分布［4］，显然这种假定过于理想化。另外，传统意义的拍卖研究中，均假设参与者都是风险中性的，如Menezes等［3，6-8］的研究。这样做的优势在于方便建模。但现实中的拍卖参与者可能不是风险中性的，甚至一部分是风险规避的。基于此假设，考虑竞拍人风险类型的竞价模型具有重要现实意义。下面首先根据不完全信息静态博弈理论，综合考虑竞拍人的风险态度类型和估价偏好分布特点，建立基于三角形分布的无线电频谱使用权拍卖竞价模型;然后求得模型均衡解，并对均衡结果进行分析;最后得到本文的主要结论。
二、基于三角形分布的频谱使用权拍卖竞价博弈模型
李研等的研究发现，我国的最优频谱拍卖机制是设置保留底价的第一密封拍卖。因此假定某段无线电频谱的使用权按照一级密封拍卖［11］，前面已经论述了可采用三角形分布代替正态分布来描述频谱对电信运营企业的价值分布，从而建立基于三角形分布的频谱使用权拍卖竞价博弈模型。则称该随机变量在区间(0，1)上服从三角形分布(密度函数图形如图1所示)。式中a为随机变量的集图1三角形分布密度函数图中趋势。下面基于偏态分布下拍卖过程中两家电信运营企业和多家电信运营企业竞价的情形，并在此假定下讨论其贝叶斯纳什均衡。1．模型的基本假定(1)假定市场上有n个风险厌恶的竞拍企业，且每个竞拍企业i的Arrow-Prant相对风险厌恶系数是1－ri(ri为风险偏好系数)。(2)第i家电信运营企业对拍卖频段的估价vi是不公开的，vi只有第i家电信运营企业自己知道，即相互独立。但每个电信运营企业都知道vi独立服从(0，1)区间上集中趋势为a的三角形分布。(3)假定有n家电信运营企业参加竞拍，拍卖设置的保留底价为b0，第i家电信运营企业超出底价的出价(简称出价)为bi≥0，即第i家电信运营企业的实际出价为b0+bi。第i家电信运营企业认同拍卖频段超过保留底价之外的价值(简称估价)为vi≥0，且vi满足上述估价集中趋势为a的三角形分布。(4)竞拍企业的效用函数用uri(y)=yri确定，其中y表示竞拍企业的无风险收入，即(b0+vi)－(b0+bi)=(vi－bi)。若第i家电信运营企业以价格b0+bi获胜，则第i家电信运营企业的净收益为(vi－bi)ri。若第i家房地产开发电信运营企业未能中标，则净收益为0。(5)假定第i家电信运营企业的出价bi(vi)是其对该频段估价vi的严格递增函数，由于博弈是对称的，只需要考虑对称的均衡出价策略b=b*(v)。2．两家电信运营企业竞价的情形若只有两家电信运营企业决定参加此次频谱使用权拍卖，i=1，2。显然，给定v和b，第i家电信运营企业的期望支付为ui=(v－b)riP{bj＜b}，式中P{·}表示bj＜b的概率，bj为第j家电信运营企业的出价。又由于v是连续分布的，则有P{bj＜b}=P{bj≤b}，(v－b)为确保中标情况下所获得的净收益，P{·}是确保竞价成功的概率。根据对称性有bj=b*(vj)，得到P{bj＜b}=P{b*(vj)＜b}=P{vj＜b*－1(b)=g(b)}，其中g(b)=b*－1(b)是b*的反函数(即当电信运营企业选择出价为b时，出价b对电信运营企业的价值为g(b))，则第i家电信运营企业的期望支付为(1)若g(b)≤a，则ui=(v－b)rig(b)2a，最优化问题的一阶条件为－g(b)2ari+2(v－b)g(b)ag'(b)=0;若b*是第i家电信运营企业的最优策略，则g(b)=v，所以－riv2db+2v(v－b)dv=0。解上述微分方程得b*=2riri+2v(1)那么，第i家电信运营企业在该博弈中的贝叶斯纳什均衡是b*=2riri+2v，其最优出价策略为b0+2riri+2v。(2)若g(b)＞a，则ui=(v－b)ria+g(b)1－a(2－g(b))－a1－a(2－a);同理，若b*是第i家电信运营企业的最优策略，则g(b)=v，其最优化问题的一阶条件为(a－2v+v2)ridb+2(v－b)(1－v)dv=0(2)由于上述微分方程不能求得解析解，则b可表示为关于v、b、a、ri且满足h(v，b，a，ri)=0的一个函数，即b*(h(v，b，a，ri)=0)，其中h(v，b，a，ri)=(a－2v+v2)ridb+2(v－b)(1－v)dv。那么，第i家电信运营企业在该博弈中的贝叶斯纳什均衡是b*(h(v，b，a，ri)=0)，最优出价策略为b0+b*(h(v，b，a，ri)=0)。3．多家电信运营企业竞价的情形设有n家电信运营企业决定参加此次频谱使用权拍卖，则得到博弈论模型(期望支付函数)如下ui=(v－b)ri∏j≠iP{bj＜b}=(v－b)ri∏j≠iP{b*(vj)＜b}=(v－b)ri∏j≠iP{vj＜b*－1(vj)=g(b)}=(v－b)ri∏j≠i∫g(b)02axdxg(b)≤a(v－b)ri∫a02axdx+∫g(b)a21－a(1－x)dxg(b){＞a(1)若g(b)≤a，则ui=(v－b)rig(b)2an－1，其最优化问题的一阶条件为－g(b)2n－2ari+(2n－2)(v－b)g(b)2n－3ag'(b)=0。在均衡条件下，如果b*是第i家电信运营企业的最优策略，则g(b)=v，所以－riv2n－2db+(2n－2)(v－b)v2n－3dv=0。解上述微分方程得b*=2(n－1)ri2(n－1)+ri(3)那么，第i家电信运营企业在该博弈中的贝叶斯纳什均衡是b*=2(n－1)ri2(n－1)+riv，其最优出价策略为b0+2(n－1)ri2(n－1)+riv。(2)若g(b)＞0，则ui=(v－b)ria+g(b)1－a(2－g(b))－a1－a(2－a)n－1;同理，在均衡条件下，若b*是第i家电信运营企业的最优策略，则g(b)=v，其最优化问题的一阶条件为(2v－v2－a)ridb－2(n－1)(v－b)(1－v)dv=0(4)由于上述微分方程不能求得解析解，则b可表示为关于v、b、a、ri且满足h(v，b，a，ri)=0的一个函数，即b*(h(v，b，a，ri)=0)，其中h(v，b，a，ri)=(a－2v+v2)ridb+2(v－b)(1－v)dv。那么，第i家电信运营企业在该博弈中的贝叶斯纳什均衡是b*(h(v，b，a，ri)=0)，最优出价策略为b0+b*(h(v，b，a，ri)=0)。当n=2时，式(4)与式(2)相同，与两家电信运营企业竞拍的期望支付相符;当n＞2时，代入式(2)中可求出此时的贝叶斯均衡是b*(h(v，b，a，ri，n)=0)，即b*满足h(v，b，a，ri，n)=0。因此，如果给定n个参加竞拍电信运营企业的估价v服从的三角形分布，即给定电信运营企业估价的集中趋势a和风险偏好系数ri，可以计算相应的纳什均衡b*，进而得到不同风险偏好的竞拍企业的最优出价策略。
三、均衡分析
从式(3)和式(4)知，当频谱的估价服从偏态分布时，每个电信运营企业的最优出价是关于估价v、集中趋势a、风险偏好系数ri和参加竞拍电信运营企业数n的综合折算值。如果有n个频谱有意受让企业参与竞拍，其最优出价策略为b0+b*(h(v，b，a，ri)=0)。很明显发现bi(vi)≤vi，即竞拍电信运营企业不愿意付出比其对某段频谱的估价更高的价格(否则电信运营企业的效用将为负)，从而验证了电信运营企业的出价bi(vi)是其对该频段估价vi的严格递增函数这一假设。然而现实频谱拍卖中可能会出现超出自己估价的报价(比如个别3.5GHz频谱投标电信运营企业)，通过上述最优出价策略的结果分析，发现这样的竞价是不理性的。当估价集中趋势a越高时，其最优出价就越大;反之则越小。不同风险偏好的竞拍企业即使在估价相同的情况，选择的竞价策略往往不同。当ri=1时，说明竞拍人是风险中性的，则其最优出价是2n－22n－1v，随着n的增加而增加。特别地，当n→∞时，b*→v，即电信运营企业需要支付全部的b0+v才能获得该频谱的使用权。此时，对于拍卖者是利益最大化的，但是对于参加频谱拍卖的电信运营企业而言，其最优出价策略就是频谱保留底价与企业估价(超出底价的部分)之和b0+v。当风险偏好系数vi＜1时，风险厌恶型竞拍企业的出价高于风险中性竞拍企业(vi=1)的出价。特别地，当ri→0时，b*→v，这说明投标人越厌恶风险时，出价越接近其真实估价，其期望收益就越接近于0。风险厌恶型竞拍企业更愿意提高报价以确保获胜，并获取正利润。综上所述，频谱拍卖前，电信运营企业不仅需要估算自身成本，还需认分析竞争对手的估价分布a，最后根据自己的的风险偏好情况选择最优竞价策略。
四、结束语
以往研究者在研究竞价策略时建模多以拍卖者竞价偏好服从均匀分布为基本前提，或许这样可将问题简化，但考虑到现实竞拍企业的偏好特点，三角形分布更加接近这一现实。因而，本文以频谱拍卖竞价为研究对象，加以风险偏好因素，构建基于三角形分布的无线电频谱使用权拍卖竞价博弈模型，并对其均衡结果进行了分析，提出了一种综合考虑风险偏好和集中趋势的竞价策略。通过均衡分析还发现，企业估价的集中趋势或风险偏好同向激励其均衡出价，所以，电信运营企业需要在自身成本基础上对竞争对手估价分布做出合理预测，根据自身风险偏好特点，按照上述最优出价策略出价。不足之处在于，式(2)和式(4)无法求得解析解，目前我国又缺少频率拍卖相关数据，因此未能通过案例求解并加以验证;另外，对于综合经济期刊频谱价值评估还需要进一步深入的研究。
作者：万晓榆 刘波 单位：重庆邮电大学 经济管理学院
