一范畴的一般定义
简单来讲，范畴论是结构和结构系统的一般数学理论，它是一种功能强大的语言或概念体系，允许我们看到给定的一种结构的一个家族的通用成分，以及不同种类的结构是如何相互联系的。正如群是多元化的代数结构一样，范畴具有许多互补性质，诸如几何学的、逻辑学的、计算的、组合学的代数结构。1945年，艾伦伯格（S.Eilenberg)和麦克莱恩（S.MacLane)最先使用代数方法定义了范畴，并且在此定义中使用了术语“集合”[2]。然而，其定义范畴的目的是给他们真正感兴趣的“函子”和“自然变换”的概念一个明确且严格的表述。实际上，艾伦伯格和麦克莱恩从一开始就认为定义范畴是完全不必要的，他们在这一时期研究的中心概念是自然变换。为了给出自然变换的一般定义，他们借用卡尔纳普的术语定义了函子；为了定义函子，他们借用亚里士多德、康德和皮尔士哲学上的术语“范畴”，重新定义了数学意义上的“范畴”。
范畴的定义根据研究者的选择目标和数学结构而逐渐演变。在艾伦伯格和麦克莱恩按照群的公理化定义给出了一个完全抽象的“范畴”的定义之后，范畴论的概念成为更方便的一种语言并不是很明显，这实际上是20世纪50年代的情况。在随后的十几年中，当范畴论开始应用于同调论和同调代数的研究时，事情逐渐发生了变化。新一代的数学家可以直接使用范畴语言来学习代数拓扑学和同调代数，并掌握图的方法。1957年，格罗腾迪克（A.Gr0thendieCk)使用范畴语言和公理化方法来定义和构造更一般的理论,[3]证明了如何用抽象的范畴设置发展同调代数，并将此应用于特定的领域，例如代数几何。1964年，弗赖德（P.Freyd)介绍了关于阿贝尔范畴的函子理论。w由于许多重要定理甚至各个领域中的理论都可以看作等价于特定范畴之间存在的特定函子，这使得范畴理论家们逐渐看到了伴随函子概念的普遍性，伴随函子的概念也开始被看作范畴论的核心。从格罗腾迪克和弗赖德开始，更多人因为实用性而选择用集合理论中的术语来定义范畴。此外，由于与同调理论连接的方式有关，一个范畴的定义还必须满足一些附加的形式性质。我们在大多数范畴论的教科书中都能找到这种明确地依赖于一种集合理论背景和语言的范畴定义。到了20世纪60年代，拉姆拜克（J.Lambek)提出将范畴看作演绎系统。[5]这一思想源于图的概念。一个图由箭头和对象两个类组成，且它们之间具有映射。箭头通常被称作“有向边”，对象被称作“结点”或者“顶点”。通常，把一个演绎系统的对象看作公式，箭头看作证明或者演绎推理，箭头上的运算看作推理规则。于是，一个演绎系统就是一个图。因此，通过在证明上加上一个合适的等价关系，任何演绎系统都能够转化为一个范畴。所以，将一个范畴看作一个演绎系统的代数编码也是很合理的。这种现象已经为逻辑学家们所熟知。同样是在20世纪60年代，洛夫尔(F.W.Lawvere)使用了一种变换方法，通过描述范畴的范畴开始，然后规定一个范畴是那个全域的一个对象。[6]这种方法在不同的数学家、逻辑学家和数学物理学家的积极发展下，导致了现在所称作的“髙维范畴”。有了这些发展，范畴论巳经成为一个自主的研究领域，一种较为方便的形式语言。一般地，具有适当的结构保持映射的一个数学结构产生一个范畴。例如，集合范畴（set)具有对象：集合和态射，即通常的函数。这里的函数有些变体，人们可以考虑用部分函数，或者单射函数，或者满射函数代替。因此，不同情况下构造的集合范畴是不同的。又如，拓扑范畴（top)具有对象：拓扑空间和态射，即连续函数。向量范畴（vec)具有对象：向量空间和态射，即线性映射。群范畴（gip)具有对象：群和态射，即群同态。环范畴（rings)具有对象：环（有单位元）和态射，即环态射。域范畴(fields)具有对象：域和态射，即域同态。任意的演绎系统工具有对象：公式和态射证明，等等。
范畴论以两种不同的方式统一了各种数学结构。上述这些例子恰好能够说明范畴论如何以一种统一的方式来处理结构的概念。首先，正如我们所见，几乎每一个具有适当的同态概念的集合理论上定义的数学结构都产生一个范畴。这是由集合理论的环境所提供的一种统一。并且一个范畴以它的态射而不是它的对象为特征。其次，也是更重要的一个方面，一旦我们定义了一种类型的结构，确定如何由已知结构来构造新的结构是必要的。例如，给定两个集合4和集合论允许我们构造它们的笛卡尔乘积4XB。此外，确定给定的结构如何能被分解为更为基本的子结构也是必要的。例如，给定一个有限的阿贝尔群，如何将其分解为它的某些子群的积？在这两种情况中，某种结构可以怎样组合是我们必须了解的。从纯集合理论的观点上来看，这些组合的性质好像是相当不同的。
范畴论不但统一了各种数学结构，还揭示了许多结构在一个范畴中实际上是具有“泛性质”的某种对象。实际上，从范畴的观点来看，集合论中的笛卡尔积、群（阿贝尔群或其他群）的直积，拓扑空间的积和演绎系统的命题合取都是根据泛性质所刻画的范畴积的实例。范畴论也揭示了不同种类的结构如何能够彼此互相关联。例如，在代数拓扑中，拓扑空间以同调、上同调、同伦等各种方式与群、环和模等建立起联系。我们知道，具有群同态的群构成一个范畴。艾伦伯格和麦克莱恩恰恰是为了阐明和比较这些不同种类结构之间的关系而创造出了范畴论。
范畴的定义还具有哲学的价值，因为反对范畴论作为基本结构的其中一种言论声称：由于范畴被定义为集合，所以范畴论不能为数学提供哲学上具有启发作用的基础。
二范畴论的哲学意义
范畴论既是哲学研究的有趣客体，也是哲学上的概念，诸如空间、系统，甚至真理等研究的一种潜在的、强大的形式工具。范畴论能够应用于逻辑系统的研究，而在这种情况下，在语法的、证明论的和语义的层次上，它被称作“范畴主义”。范畴论以两种方式向哲学家挑战，这两种方法并不是互相排斥的。一方面，哲学家的工作是既在数学的实践中又在基础的情境中阐明范畴的一般认识论和本体论情况以及范畴的方法；另一方面，哲学家和哲学逻辑学家能够使用范畴论和范畴逻辑来探索哲学的和逻辑的问题。[7]在数学家的工具箱中，范畴论只是一种普通的工具。这一点是相当清楚的。显然，范畴论系统化并统一了许多的数学内容，没有人会否认这些简单的事实。在一个范畴结构中所做的数学工作通常从根本上不同于在集合理论结构中所做的数学工作。但也有例外，例如，如果使用布尔拓扑的内部语言工作，只要该拓扑不是布尔对象，则主要区别就在于事实上逻辑是直观的。因此，当采用一个不同的概念框架时，关于所研究对象的性质、所涉及知识的性质和所使用方法的性质的许多基本问题必须重新评估。
首先，我们必须强调在一个范畴结构内部的数学对象的两方面性质。一方面，对象总是在一个范畴中被给定。一个对象存在并且依赖于一个环境范畴。而且，一个对象由进人它的态射和由它出来的态射所刻画。另一方面，对象总是被刻画到同构的意义上，在最好的情况下能被刻画到唯一同构。例如，没有像自然数之类的事物，然而我们却可以说有像自然数概念这样的东西。实际上，借助于戴德金-佩亚诺-洛夫尔（Dedekind-Peano-Lawvere)公理，能够明确地给出自然数的概念，但这个概念在特定情况下指的是什么却依赖于它被解释的语境。例如，集合的范畴或者拓扑空间上的层拓扑。抵制住认为范畴论包含一种结构主义形式的诱惑是很困难的，结构主义把数学对象描述为结构，因为后者可以假定总是能够刻画到同构。因此，在这里，关键是必须在一个范畴结构内处理恒等标准，以及它如何类似于被看作一般形式的对象所给定的任意标准。反对这个观点的一个标准异议是如果对象被看作结构且是唯一的抽象结构，这意味着它们从任意特殊的和具体的陈述分离出来，于是在数学的域中不可能找到它们。[8]理解该情境的一种不同方法是将数学对象看作类型，其具有在不同情境中给定的记号。这与人们在集合论中发现的情况显然不同，在集合论中，数学对象是唯一定义的且它们的参数也被直接给定。尽管借助于等价类或者同构类型，人们通常能在集合论中为类型让出地方，但基本的恒等标准在根据存在公理给定的结构中，所以，参数基本上由具体的集合组成。此外，可证在一个类型和它的记号之间的关系不能由隶属关系充分地表现。一个记号不属于一个类型，它不是一个类型的一个元素，而是它的一个实例。在一个范畴结构中，人们总是参考一个类型的记号，而该理论直接刻画的是类型而不是记号。在这种结构中，人们不必查找一个类型，而是査找它的记号，这至少在数学中是认识论上所需要的。在认识论的意义下，这仅仅是抽象和具体相互作用的反映。
其次，范畴论的历史为探究和考虑历史上敏感的数学认识论提供了丰富的信息资源。很难想象没有范畴的工具，代数几何学和代数拓扑学如何能发展成现在这样。范畴论已经导致基于纯抽象基础的各种数学领域的重新定义。此外，在范畴结构中发展时，学科之间传统的界限被打破并重新配置。我们必须提及的一个重要例子是拓扑理论给代数几何学和逻辑之间连接提供了一座桥梁。在这一点上，代数几何中的某些结论被直接翻译成逻辑，反之亦然。某些起源是几何的概念更明显地被看作逻辑概念，例如，相干拓扑和代数拓扑的概念。另一个重要方面是可证数学和元数学之间的区别不能以它已有的方法明确地表达，所有这些问题必须重新考虑和重新评价。
最后，接近数学的实践，范畴论考虑已经改变的方法的发展，并且继续改变着数学的面貌。可以说，范畴论代表了20世纪数学观念中最深刻和最强大的趋势：在给定的情境中寻找最一般和抽象的成分。在这种意义上，范畴论是戴德金-希尔伯特-诺特-布尔巴基（Dedekind-Hilbert-Noether-Bourbaki)传统的合法继承，其强调公理化方法和代数结构。当用于刻画一个具体的数学领域时，范畴论揭示了所构造领域上的结构，总体结构决定了它的稳定性、强度和一致性。在某种意义上，这个具体领域的结构可能不需要依靠任何事物，也就是说，在某个实体基础上，它可能只是一个更大的网络中的一个部分’没有任意的阿基米德点，犹如飘浮在空间中。用一^比喻的说法，以范畴的观点来看，逻辑实证主义维也纳学派的创始人之一纽拉特(OttoNeurath)提出的用来说明其整体论观点的著名隐喻一“纽拉特之船”完全成为了太空飞船。 ‘但是，范畴论是否应当“在同一平面上”还有待观察，打个譬喻，如同集合论那样，它是否应当被看作数学基础的集合论的严格的替代物，或者在不同的意义下，它是否是基础的。范畴论这一数学学科的出现，使得多年来学术界关于数学基础的争论愈发激烈。范畴论是否是数学的基础，或者范畴论在何种意义下可以充当数学的基础，这也是近年来西方数学家和哲学家所关注和致力于研究的问题。在目前有关范畴基础问题的文献资料中，我们分析有三种研究方向：
第一，以洛夫尔为代表支持的观点，即范畴论或者范畴的范畴为数学提供了基础。洛夫尔一直以来提倡将范畴的一个范畴用作一个基本结构的思想。这个提议如今在某种程度上依赖于高维范畴，也称作弱n-范畴的发展。20世纪70年代拓扑斯理论的出现为此带来了新的可能性。麦克莱恩建议将某种拓扑看作数学的真正基础。拉姆拜克提出将所谓的自由拓扑看作最可能的结构，在这种意义上，具有不同哲学观点的数学家也可能赞成采用这种观点。而且拉姆拜克认为没有任何拓扑能够使一个传统的数学家完全满意。
第二，反对范畴论作为一种基本结构的讨论也在日益增加。主要原因应该是：一方面，出于认识论的考虑，范畴论不能为数学提供一个适当的基础，由于其预先假定了更加简单理解的概念；另一方面，范畴论可能在数学的某些领域，诸如代数拓扑、同调代数、代数几何、同伦代数、K-理论、理论计算科学甚至数学物理学中是有用的，但它不能提供比得上集合论那样的数学画面。这是由于存在为数学提供结构的非形式集合论，这种非形式集合论虽不十分清晰，但却发挥了重要的作用。而且存在一个众所周知的、很好理解的全域，即累积分层，以及一个用众所周知的、很好理解的形式语言书写的同样众所周知的、很好理解的理论，即用一阶语言书写的ZF公理化系统。因此，反对意见认为范畴论不能满足显而易见的哲学和元数学的需要，人们可能期望或要求一个基本框架。为此，梅白瑞（J.Maybeixy)等人提出范畴论不能为数学提供基础。因为说到底，像所有其他的数学分支一样，范畴论也需要以集合论作为自身的基础。布拉斯（A.BlasS)考察了范畴论和集合论之间交互作用的一些方法，在某种范畴，特别是拓扑范畴中来构造集合理论上的结构，并利用集合理论的概念和范畴理论的概念之间的相互作用来证明这种结构的可能性。但他认为，虽然集合论是整个现代数学的基础，但并没有一种最适合范畴论的集合理论上的基础。[91费弗曼（S.Feferman)、贝尔（J.LBell)和赫尔曼（G.Hellman)等人也分别驳斥了范畴论，提出范畴论和集合论是并行发展的两个理论，不能将其中一个理论看作优先于另一个理论。由于范畴论本身的基础还没有被阐明，这件事情变得更加复杂。因为可能有许多不同的方法将高维范畴的一个域看作数学的一个基础，所以仍然需要提出对于这样一个域的一种适当的语言和对于数学的明确的公理。
第三，针对范畴论是否是数学基础的这些讨论，麦克莱恩提出了另一种新的观点。他给范畴论指派了一个组织的角色，也就是允许范畴论以系统化的和统一的方式，选出所有数学分支的共同的结构要素。兰德瑞(E.Landry)也坚持反对洛夫尔和梅白瑞关于范畴论基础问题的研究方式，提出应当将范畴论看作一种数学语言。他认为没有必要减少数学理论（包括范畴论中的集合全域或范畴的范畴）的内容或结构。范畴论的作用是组织数学概念和理论结构的论述，是一种非常合适的数学语言，因而为数学结构主义提供了一个框架。
总而言之，范畴论不仅仅是一个抽象的数学理论，它对现代数学的强大作用是显而易见的。所有的数学概念，包括当前数学的逻辑元理论结构，都可以用范畴论的术语来解释。众所周知，集合论提供了一个通用框架来处理各种数学结构。范畴论虽然依靠集合论作为数学实体的最终来源，但通过构造一个公理化的一般结构理论（即范畴理论和函子理论）超越了集合论的特殊结构。可以说，范畴论的成功，’范畴论基础性的重要意义就起因于数学中无处不在的结构。因此，范畴论完全不是反对集合论，它最终能够令集合概念达到一种新的普遍性。我们认为以范畴论目前的基础作用，它完全可以替代集合论成为“官方的”数学基础。
三范畴论应用于逻辑学的研究
随着范畴论成为自主的研究领域，纯范畴论得以不断地发展。实际上，作为一门独立的学科，范畴论的应用主要是在其源背景，即代数拓扑学和同调代数，以及代数几何学和泛代数中。20世纪60年代，洛夫尔提出将范畴的范畴作为范畴论、集合论，甚至整个数学的基础，范畴对数学的逻辑方面的研究也是如此。洛夫尔概括了适合逻辑和数学基础的一种完全新颖的方法，并取得了一系列丰富的研究成果：譬如，讨论了公理化的集合范畴和范畴的范畴；给出不依赖于语法选择的理论的一种范畴描述，并且概述了如何通过范畴的方法得到逻辑系统的完全性定理；描述了笛卡尔封闭范畴，并且证明了它们与逻辑系统和各种逻辑悖论的关系；证明量词和概括模式能够作为给定基本运算的伴随函子；证明了凭借“范畴主义”的概念，伴随函子一般发挥重要的基础作用。同一时期，拉姆拜克根据演绎系统描述了范畴，并且为证明理论上的目标使用了范畴方法。所有这些工作，由于拓扑斯的概念而达到顶点。在代数几何学的背景下，拓扑斯是一个具有逻辑结构的范畴，足以丰富发展大多数“普通数学”。拓扑斯能被看作集合的范畴理论，它也是一个广义拓扑空间，因此提供了逻辑和几何学之间的一种直接连接。到了20世纪70年代，拓扑斯概念在代数几何学之外许多不同的方向有所发展和应用。例如，集合论中的各种独立性结果可以根据拓扑斯而重新改造。拓扑斯理论已经被用来研究各种形式的构造性数学或者集合论、递归论和高阶类型论的模型。20世纪80年代以来，范畴论有了新的应用，它为新的逻辑系统的发展和程序语义学作出了一定的贡献。
总之，运用范畴论研究逻辑和哲学已是一个确定的事实。实际上，范畴逻辑，即通过范畴方法对逻辑的研究到现在为止巳经进行了大约30年，而且仍然很有活力。西方学者在范畴逻辑的研究中得到了一些哲学上相关的研究结果。诸如，对于范畴学说层次结构的探究，正规范畴、相干范畴、海廷范畴和布尔范畴等各个层次的范畴都对应于定义明确的逻辑系统，以及演绎系统和完全性定理。逻辑概念，包含量词以一种特定的顺序自然地出现，并且不是随意组织的；主要有对于加雅尔（A.Joyal)关于直觉主义逻辑的克里普克-贝特（Kripke-Beth)语义到层语义的概括的系统研究；对于所谓的相干几何逻辑的研究，但其实际性和概念性的意义还有待于进一步的讨论；对于某一种理论的通用模型和分类拓扑概念的研究；对于强概念上的完全性概念和相关定理的研究；对于连续统假设独立性的几何证明和集合论的其他强公理的研究；对于模型和构造性数学的发展研究；对于合成微分几何的研究；对于所谓的有效拓扑的构造性研究；对于线性逻辑、模态逻辑、模糊集合和一般高阶类型论的范畴模型的研究；对于称作“示意图”（sketches)的一种图语义的研究，等等。逻辑中的范畴工具具有相当大的灵活性，像我们举例说明的事实一样，几乎所有令人惊讶的构造性和直觉主义数学的结果都能够用适当的范畴来设置模型。同时，标准的集合论概念，例如，塔斯基语义也已经在范畴中找到了自然的概括。在20世纪的发展中，范畴逻辑起源于逻辑，同时也提供了一种与数学的其他部分有许多联系的强大和新奇的结构。
范畴论对于更多一般的哲学问题也有影响。从上述提及的讨论可以看到，范畴论和范畴逻辑对几乎所有出现在逻辑哲学中的问题有影响是显然的。从恒等标准的性质到可选择逻辑的问题，范畴论总是能够对这些话题作出新的阐述。当我们转向本体论，特别是形式化的本体论：部分或整体关系、系统的边界、空间观念等等时，也可以作出相似的评论。勒曼（D.Ellerman)于1988年大胆地尝试证明了范畴论构成一种共性理论，其所具有的性质从根本上不同于集合论，可被看作一种共性理论。[U]从本体论到认知科学，麦克纳马拉（J.MacNamara)和雷耶斯（G.Reyes)在1994年设法用范畴逻辑提供了一种不同的参照逻辑。[12]他们试图阐明可数名词和大多数项之间的关系。其他一些研究者正在使用范畴论来研究复杂系统、认知神经网络和类比等。
西方学者对范畴理论的研究起步较早，涉及领域广泛，已经取得了较为丰富的成果。诸如，范畴论和数学哲学、范畴论和集合论、逻辑和数学的范畴基础、范畴论到认识论的哲学应用等有关范畴论的哲学研究，以及范畴逻辑、范畴逻辑到集合论的应用、范畴逻辑和构成主义等有关范畴论的逻辑应用研究。目前，国内哲学界和逻辑学界对范畴论及其应用的研究几乎一片空白。因此，将国外关于范畴论研究所取得的最新成果梳理并介绍到国内十分必要，这对于我们了解学术前沿理论、汲取新的研究方法和思想，从而进一步开展该领域新的研究具有十分重要的意义。范畴论提出了许多对哲学的挑战，而且这些挑战有望在未来的几年内由哲学家们更加深入地探讨。
作者：王湘云 单位：华北水利水电大学思想政治教育学院
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