1多面体体胞结构演变机理
金属夹层板在冲击载荷作用下，夹层板的夹芯结构可能发生弹性屈曲，弹塑性屈曲及塑性屈曲，同时也伴随着夹层板自身的弯曲和拉伸，要从理论上精确地分析夹层板的力学性能是相当困难的。因此，掌握夹芯结构的变形机理尤为重要，不仅有助于对问题实质的把握，而且对夹层板结构的初步设计能起到很好的指导作用。如图1a所示，多面体夹芯体胞的结构特征参数主要包括夹芯体胞底面边长b1L、b2L，顶面t1L、t2L，夹芯体胞高h，多面体夹芯体胞按一定规律阵列后，可得多面体夹芯结构，特征参数如图1b所示，包括夹芯体胞间距dL，芯层板长度L、宽度M、板厚t。选择不同的结构特征参数获得不同结构特征夹芯体胞，导致多面体夹芯结构的刚度、强度、抗失稳能力等性能也不相同。不同性能特性的夹芯体胞虽然结构特征参数不同，但其都是由最简单的夹芯体胞基元结构变形演化而来，如图2所示为夹芯体胞基元结构。多面体夹芯体胞的结构变形主要包括相似变换和切边操作两种基本结构变形方式，两种基本结构变形方式也可以同时进行，构成复合结构变形方式。将基元结构按照不同的相似比和切边比进行变形可以获得结构形式不同的夹芯体胞，实现夹芯体胞的结构变形。本文对相似变换和切边操作两种基本结构变形方式分别进行讨论。1.1相似变换多面体夹芯体胞是以正三角形作为体胞基元，通过将夹芯体胞基元边长bL放大或缩小，形成新的夹芯体胞，实现夹芯体胞基元的相似变换。定义夹芯体胞基元边长bL和变换后新的夹芯体胞边长sL的比为相似比，当1时，sbLL，则sbLL(1)当相似比1时，如图3a所示，夹芯体胞基元AOB、EOF、MON以各自质心为中心，经过放大相似操作得到111ABC、111DEF、111LMN。由于夹芯体胞基元AOB、EOF、MON被放大，从而形成交叉重叠区域111CDL。通过计算可求得各边边长111111=(1)bCDDLLCL(2)当相似比01时，如图3b所示，夹芯体胞基元AOB、EOF、MON以各自质心为中心，经过缩小相似操作得到111ABC、111DEF、111LMN。夹芯体胞基元AOB、EOF、MON被缩小，因此无重叠区域形成，分别连接11CD、11DL、11LC，计算可得111111=(1)bCDDLLCL1.2切边操作通过截去夹芯体胞基元边cL长度，形成新的夹芯体胞，实现夹芯体胞基元的切边操作。定义经相似变换后的夹芯体胞基元边长sL和截取的夹芯体胞基元边长cL的比为切边比，则ccsbLLLL(2)夹芯体胞基元AOB、EOF、MON的边各截去cL长度，连接22CD、12DL、11LC得到闭合区域121212CCDDLL。夹芯体胞基元AOB、EOF、MON切边后得六边形区域122121AABBCC/122121DDEEFF/122112LLNNMM，如图4所示。1.3复合变换通过对夹芯体胞基元同时实施相似变换和切边操作，实现夹芯体胞基元的复合变形，形成具有复杂构型的夹芯体胞。如图5a所示，夹芯体胞基元底面AOB、EOF、MON以各自质心为中心，取相似比1，进行放大相似操作，生成封闭区域111ABC、111DEF、111LMN。在111ABC、111DEF、111LMN上从顶点开始，取切边比，进行切边操作，得到六边形封闭区域233223AACCBB/233232DDEEFF/233223LLNNMM，该封闭区域作为多面体夹芯体胞的底面。连接23LC、23CD、23DL得到六边形232323CCLLDD，该区域作为多面体夹芯体胞的顶面，可得体胞顶面底面边长为取相似比01，切边比，同样获得六边形夹体胞底面233223AACCBB/233232DDEEFF/233223LLNNMM，连接23LC、23CD、23DL得到六边形夹芯体胞顶面232323CCLLDD，各边边长与上述相同，则夹芯体胞如图5b所示。bLcLOsL1AA2BB1EE1F2MMF1NN2A1B2E2F1M2N3B3A3E3F3N3M1C1D1L2L3L2C3C2D3D(a)1bLsLOcL1AA2BB1EE1F2MMF1NN2A1B2E2F1M2N3B3A3F3N3M3E1L2L3L1C3C2C2D1D3D(b)01图5复合变换1.4阵列变换在LM的平面上，将边长为bL的多面体夹芯基元相互连接排布，同时对多个基元做复合变换，由此实现夹芯体胞的阵列操作，从而生成多面体夹芯结构。由图6可知，夹芯体胞之间的距离为dbLL，基元边长越小，体胞分布越密，体胞基元边长的大小直接决定了体胞的分布密度。因此定义平面面积与基元三角形的面积为体胞分布密度。综上所述，多面体夹芯结构的底面边长，顶面边长及体胞间距等特征参数都可以通过相似比、切边比、基元边长来表征。夹芯体胞基元通过相似变换、切边操作和复合变换可得多种不同的夹芯体胞基元，随着相似比、切边比、基元边长bL的变化，多面体体胞的顶面和底面形状及在平板上的分布情况也随之变化。根据体胞顶面顶点个数m和底面顶点个数n，将夹芯体胞定义为mnTB型夹芯体胞。例如，将顶面顶点个数为3，底面顶点个数为3的多面体体胞定义为33TB型体胞，同理还可定义13TB型体胞、36TB型体胞和66TB型体胞，当顶面形状与底面形状相同时即形成棱柱型体胞，常见的几种夹芯体胞如表1所示。当2323332322=23DLLCCDNLNMLM，即=1/(23)时，体胞结构为型或型棱柱，其中，=0即=0.5时体胞为型棱柱；0.5时为型棱柱。当1时，体胞经相似变换后，若所切边长=LcsbLL即=1/(1)，体胞结构为63TB型体胞。因为体胞各边长非负，所以可得相似比与切边比的取值范围为：0.52，00.5。因此，体胞结构的变化曲线如图7所示。
2Kriging近似模型方法
多面体夹芯结构的碰撞过程是一个多重非线性的动态过程，直接对其优化设计需要耗费大量的计算成本。利用Kriging近似模型技术不仅可以描述多重非线性过程，还可以降低计算成本，提高优化设计的效率。Kriging近似模型由全局模型与局部偏差迭加而成，其数学表达公式y(x)f(x)Z(x)(4)式中，y(x)为未知样本点的响应近似模；f(x)为已知的多项式函数，表示了设计空间的全局近似函数；Z(x)是均值为零、方差为2的正态分布的高斯静态过程，是对f(x)的偏离插值补偿。Z(x)的协方差矩阵表示为2covijijZx,ZxRx,xR(5)式中，R为NN维对称正定矩阵，N表示样本点的个数；ijRx,x为两个样本点ix与jx的相关函数，由使用者给定。相关函数ijRx,x有指数函数、高斯函数、立方样条函数等多种表达形式，本文选用高斯相关函数21expdvnijijkkkkRx,xxx(6)式中，dvn为设计变量个数；k为拟合模型的待定相关系数；ijkkxx为两个样本点ix与jx之间的距离，ikx表示第i个试验方案的第k个设计变量。选定样本点的相关函数后，Kriging模型在未知样本点的预测估计y(x)为T1()()()yxxrRyf(7)式中，Tr(x)为预测变量x与N个样本点之间的相关矢量；y为长度为N的列矢量，表示各已知样本点对应的响应值；f为长度为N的单位列矢量。的数学表达式为T12()()()()NrxRx,x,Rx,x,,Rx,x(8)1T1T1fRffRy(9)近似模型的方差估计值T12NyyRyf(10)上述式中高斯相关参数k可通过求解下式得到其最大似然估计值2max()2s.t.0nNlnlnRR(11)式中，()为标准正态分布函数的累积分布函数。当k求出后，通过式(8)可得到预测变量x与样本点之间的相关矢量，然后再通过式(7)即可完成Kriging近似模型的构建。以Kriging近似模型替代真实模型，因此其精确程度显得非常重要。通过检验设计空间任意样本点的相对误差来验证模型精度，其表达式为()()0()0RE0.01()0()fxfxfxfxfx(12)式中，RE为未知样本点的有限元仿真计算值与Kriging近似模型结算结果的相对误差，f(x)为未知样本点的有限元仿真计算值，()fx为未知样本点的Kriging模型计算结果。
3多面体夹芯结构抗撞性优化设计
多面体夹芯结构与同等厚度的实心钢板相比，具有抗横向剪切能力强、等效刚度高、比吸能大等特点。将多面体夹芯结构作为吸能结构填充到汽车车厢底板及后备箱垫板等结构中，当汽车发生碰撞时，吸能结构发生塑性变形，吸收碰撞产生的动能，从而减少传递到车内乘客的冲击与碰撞力。吸能结构的抗撞性直接决定了汽车的安全性，因此如何提高吸能结构的抗撞性是汽车安全性设计中的关键问题。本文根据车辆撞击过程，对多面体夹芯结构的抗撞性进行优化设计。3.1多面体夹芯结构抗撞性优化建模取多面体夹芯结构的长为303mm，宽为255mm，夹芯结构板厚为1mm。在文献[5]中，Tokura指出，多面体夹芯结构在x、y、z方向上的吸收的能量不可能同时达到最大，而且x方向的吸能特性最好，因此优化时选取x向建立撞击模型。以质量为100kg的平面刚体来模拟撞击,根据汽车碰撞安全性标准，撞击速度取20m/s[11]，多面体夹芯结构的另一端固定支撑，因此多面体夹芯结构的碰撞模型如图8所示。多面体夹芯结构的材料采用高强度钢DP600，其材料特性如表2所示。采用边长为3mm的四边形壳单元划分网格，多面体夹芯结构有限元分析模型如所图9所示。常用于评价结构的抗撞性指标，主要包括：比吸能(Specificenergyabsorption,SEA)和最大撞击力maxF。比吸能是结构在碰撞过程中单位质量所吸收的能量，它表征了结构在能量吸收中的利用率[12]，其表达式为SEAEm(13)式中，E为结构吸收的总能量即热力学能，m为结构的质量。最大撞击力是结构在变形过程中所受的最大撞击力，一般出现在变形初始阶段[13]。结构的抗撞性设计一般要求结构吸收的冲击能量尽可能大，经结构传递过来的撞击力尽可能小，且低于安全界限，所以本文以多面体夹芯结构的相似比、切边比ξ、体胞高度h和胞间距离bL为设计变量，最大撞击力为设计约束，比吸能SEA的最大化为优化目标，对多面体夹层板展开抗撞性优化设计，数学模型如下。maxmaxSEAs.t.70kN0.81.00.100.354065mm1530mmbbbf,,L,hF,,L,hLh(14)3.2多面体夹芯结构抗撞性优化方法本文采用Kriging近似模型技术求得比吸能SEA和最大撞击力的近似计模型，通过遗传算法求得抗撞性最优解[14]，如图10所示，多面体夹芯结构抗撞性优化设计流程包括如下步骤。(1)根据多面体夹芯结构抗撞性优化数学模型，采用最优拉丁超立方试验设计方法在求解空间D中生成组样本库T12nXX,X,X，其中iiiibiX,,L,h，i1,2,,n。(2)对n组样本分别行仿真分析，并从仿真结果中抽取比吸能值SEAiX和最大撞击力值maxiFX。(3)基于步骤2得到的多组样本数据采用Kriging近似模型技术拟合得到比吸能SEAb,,L,h和最大撞击力maxbF,,L,h的近似模型。(4)在求解空间D中，随机抽取另外j组未测样本作为检验样本点，分别进行仿真分析与近似计算，根据式(12)对比仿真结果与近似计算结果来检验近似模型精度。精度若满足要求则转至步骤5，否则将这j组未测样本加入到样本库X，重复步骤(2)～(5)。(5)将比吸能和最大撞击力的近似模型和代入到式(14)中，采用遗传算法获得抗撞性最优解。若求解过程收敛，则输出最优解，否则重复步骤(2)～(5)。
4多面体夹芯结构抗撞性优化结果分析
由图11可知近似模型的精度直接影响到优化设计结果，因此本文通过计算未测样本点的近似值与分析值之间的相对误差来验证模型的近似精度，图给出了10组样本点的Kriging近似计算结果与有限元仿真结果的对比情况。从图中看出，10组未测样本点的Kriging近似模型计算结果与有限元仿真结果之间的相对误差均不超过4%，从而说明了本文建立的近似模型精度的可靠性，因此可以采用Kriging近似模型替代有限元仿真模型进行多面体夹芯结构的抗撞性优化。根据图11优化设计流程求得抗撞性最优解如表3所示。由表3可知，经抗撞性优化使得结构的比吸能提高了约13%，最大撞击力显著减小，降低幅度达24%，与优化前相比碰撞力变得更加平缓，碰撞力时间历程曲线如图12所示。因此优化使得多面体夹芯结构的吸能特性有显著提高。优化后，胞间距离由50mm变为54.2741mm，可见改变体胞分布密度有利于提高多面体夹芯结构的抗撞性。传统优化方法以外形尺寸1b1b2t1t2XL,L,L,L,h为设计变量，优化变量为5个，忽略了体胞分布密度，而以演变参数2bX,,L,h为设计变量，优化变量为4个，可同时表征体胞结构尺寸与体胞分布密度，减少了构建近似模型时采样数目，降低了建模复杂度。为了进一步研究多面体夹芯结构的抗撞性，在相同的碰撞条件下，对波纹夹芯结构与多面体夹芯结构进行抗撞性仿真分析，分析结果如表4所示，波纹夹芯的结构尺寸如图13所示。由表4可以看出，与波纹夹芯结构相比，多面体夹芯结构的比吸能提高了约9.3%，而质量降低了约51%。因此多面体夹芯结构不仅具有良好的抗撞性，而且还能较好地满足轻量化设计准则。两种结构的变形情况如图14所示，所示，多面体夹芯结构在碰撞过程中，褶皱有序依次形成且分布细密，是一种有利于结构吸收更多冲击能量的变形模式。波纹夹芯结构在碰撞过程中，虽然也形成了褶皱，但分布不均，随着撞击的进行，产生了横向位移，吸能效果较差。
5结论
(1)研究了多面体体胞结构的演变机理，提出了基于相似比、切边比和胞间距离的多面体夹芯结构演变过程，并以演变参数为设计变量建立了多面体夹芯结构抗撞性优化模型，优化变量由五个减少为四个，降低了建模复杂度。(2)提出了基于Kriging近似模型的多面体夹芯结构抗撞性优化流程，采用遗传算法求解获得一组抗撞性最优的结构设计参数，与初始结构相比，优化结构的比吸能有显著提高，碰撞力曲线变得平缓，提高了多面体夹芯结构的抗撞性。(3)与波纹夹芯结构相比，多面体夹芯结构在撞击过程中，褶皱有序叠加形成，是一种较好的变形模式，吸能效果更好。综上所述，在抗撞性研究过程中，以多面体体胞结构演变参数为设计变量，对结构的抗撞性展开优化设计，从而为工程应用提供直接参考依据。多面体夹芯结构具有良好的抗撞性，可将其填充到车辆底板等结构中，提高车辆的安全性能。
作者：龙四营 冯毅雄 高一聪 谭建荣 单位：浙江大学流体传动及控制国家重点实验室
