1自由振动问题的求解
考虑四边简支方板的自由振动，外加载荷q为0，设复合材料层合板的长、高分别为a、h，边界条件为:采用满足(6)式边界条件的Navier三角函数解分别来表示u0，v0，w0，φx，φy;分别代入所求得的控制方程中，可以得到:对应的{U}={Umn，Vmn，Wmn}T;而一阶剪切变形理论和高阶剪切变形理论得到5×5的刚度矩阵和质量矩阵，对应的{U}={Umn，Vmn，Wmn，Xmn，Ymn}T;{U}为x，y，z方向的位移向量。
2数值算例
以正交各向异性对称铺设的四边简支方板［0°/90°/90°/0°］为例，方板长度为a，厚度为h，且层合板的每一层都具有相同的材料参数和厚度。表1中文献［9］是复合材料固有频率的有限元解，文献［10］是根据分层理论所求的解，都具有较高的精度。表1为JD、YJJQ和GJJQ同文献［9］及文献［10］的一阶无量纲固有频率结果对比。从表中数据可以看出，当跨厚比a/h=5时，JD的误差很大，YJJQ也有较大误差，而GJJQ相比于文献有较好的结果;当a/h=10时，JD误差减小，但仍有较大误差。此时，YJJQ和GJJQ具有较好的精度;当a/h=100时，JD、YJJQ和GJJQ同文献［9］及文献［10］的解都较为接近。由表中数据可知，GJJQ精度高，可靠性好。通常，弹性模量比(E1/E2)、跨厚比(a/h)的改变对复合材料层合板固有频率有影响。以数值分析中的方板为例，图1～图3分别是基于3种理论，层合板一阶无量纲固有频率与弹性模量比、跨厚比的关系。
3层合板固有频率的优化设计
1)优化模型建立及设计变量。基于高阶剪切变形原理，建立层合板固有频率等效模型，再将层合板固有频率等效为单层正交各向异性材料的材料属性。复合材料层合板的减振降噪性能通常受其固有频率影响，而有很多因素影响固有频率，如铺设角度、跨厚比、弹性模量比、湿热等等。对其进行优化设计，能提高层合板的性能。以上例中的层合方板为例，基于高阶剪切变形理论下，对层合板的固有频率进行优化，选择铺设角度作为设计变量。2)目标函数及约束条件。本文以上例材料参数作为层合板的初始参数，以层合板固有频率最大化作为优化目标，文中得到的(8)式则是固有频率的目标函数。铺设角取值范围∈［0°90°］。3)优化设计方法。文中以改进的适应度函数［11］遗传算法对目标函数进行优化。遗传算法引导搜索的主要依据就是个体的适应度值。也就是说，遗传算法依靠选择操作来引导算法的搜索方向。选择操作是以个体的适应度作为确定性指标，从当前群体中选择适应度值高的个体进行交叉和变异，寻找最优解。如果适应度函数选择不当，它直接影响到遗传算法的收敛速度、稳定性及能否找到最优解。本文选择种群规模(NIND)为20;遗传代数(GEN)为40;交叉概率(px)为0．7;变异概率(pm)为0．01;代沟(GGAP)为0．95，采用进化代数固定的终止策略。从图4看出，优化目标值随着遗传代数增加呈递增趋势，优化到第10代时找到全局最优解。优化结果为x=0．735，y=0．769，z=15．31;即θ1=44．5°，θ2=44．9°，为15．31。由表2可知，优化后的效果较明显，ω～11从12．40提高到了15．31。
4结论
通过对复合材料层合板的动态非线性分析、求解固有频率以及优化层合板固有频率，得出以下结论:1)复合材料层合板的固有频率随着弹性模量比E1/E2、跨厚比a/h的增加而增大，当a/h足够大时，固有频率在增加的趋势上变化很小。2)当跨厚比a/h＜20时，不适合用经典薄板理论;当跨厚比a/h＜10时，不适合用一阶剪切变形理论。结果证明，高阶剪切变形理论比经典薄板理论和一阶剪切变形理论的精度及可靠性都更好。3)本研究用改进的适应度函数遗传算法对层合板固有频率优化效果明显。
作者：杨加明 杨水清 雷园玲 单位：南昌航空大学
