对于高职院校而言，其培养目标是为企业培养技能型、实用型的人才。数学建模就是培养学生应用数学的意识和能力的一个有效途径。在数学建模课堂的教学上，我们要提高学生的数学素质，培养他们的应用能力、创新能力，形成“以能力为中心”的培养模式。然而，目前高职学生的认知水平不高、理解能力及数学基础差，按照以往的数学建模课程培养往往不能达到很好的效果。因此，结合目前学生的情况及教学经验，我们从实际出发，在生活中发现数学，利用数学的眼光看问题，逐步引导学生理解什么是数学建模，怎样才能从数学建模中得到思维的锻炼等。下面我结合长春汽车工业高等专科学校大一新生的认知水平及掌握数学基础知识的情况，展示两个数学建模课程实例。
一、七桥问题
故事发生在18世纪欧洲东普鲁士（现为俄罗斯的加里宁格勒）一个名叫哥尼斯堡的城市近郊。这里的普雷盖尔河穿城而过，河中有两个岛，两岸与两岛之间架有七座桥。当时城中居民热烈讨论着这样一个问题：一个散步者怎样走才能不重复地走遍所有的七座桥而回到原出发点？首先介绍问题发生的背景，欧拉开创了数学的一个新的分支———图论与几何拓扑引导的故事，激发学生的学习兴趣。其次引导学生对问题进行简化假设，将实际问题抽象成数学问题。由于关心的是能否不重复地走完七座桥而对于桥的长短，岛的大小等因素都不重要，因此可进行简化假设，不考虑陆地的地形，不考虑桥的形状及长短，把四块陆地用4个点A、B、C、D表示，七座桥用相应的点之间的连线（曲线段或直线段）表示。问题转换成从某个点出发能否不重复地把图形一笔画出来，这样便简化了原问题而突出了问题实质。七桥问题就抽象成通常所说的一笔画问题，即下笔后再不能离开纸，每一条不能重复，只画一次，画时任两条线允许交叉而过。之后对问题详解，对图形的结构作分析可以看出，除去起点或终点外，凡途径的点都应有进有出，即连接点的曲线必须是偶数条，我们可以把这类型的点叫偶点，因为只有起点或终点才可能有进无出或有出无进，这时可能有奇数条曲线与这样的点连接，这样的点叫做奇点，这说明，要想一笔不重复地画出图形，奇点的个数要么0个，要么2个，而在图中4个点都是奇点，因而图形不可能一笔画出，欧拉就是用“一笔画”作为七桥问题的一个模型，而解决了这个难题。由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：1.图形必须是连通的。2.图中的“奇点”个数是0或2。我们也可以依此检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此判断“七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。最后举一反三，让学生体验哪些图形可以一笔画出。
小结：欧拉之所以能解决七桥问题，是因为他将实际问题抽象成数学问题，并加以证明及解决。这个过程正是数学建模的缩影。通过这个实例的讲解，让学生感受到数学建模的过程：实际问题→抽象、简化问题，明确变量和参数→根据某种定律建立变量和参数间数学关系（数学模型）→解析地或近似地求解该数学模型→解释、验证求解结果→应用于实际。
二、椅子能在不平的地面放稳吗
这是日常生活中常见的问题，学生会很感兴趣，并且利用函数介值定理就能很好解决。在课堂上，通过老师的引入，让学生自己分析。提示学生，通常椅子四只脚着地才能放稳，引导学生对模型进行假设，四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。设椅子中心不动，四条腿的下端用A，B，C，D表示，中心点为O。用对角线AC与x轴的夹角θ来表示椅子的位置。A，B，C，D四点距地面的距离分别设为a，b，c，d，它们都是旋转角θ的函数。在假设的前提下，a，b，c，d均为θ的连续函数，且（a+b）（c+d）=0，令f（θ）=a+b，g（θ）=c+d，且θ=0时，不妨设g（0）=0，f（0）＞0，于是椅子问题抽象成了如下问题：已知：f（θ），g（θ）是连续函数;对任意θ，f（θ）·g（θ）=0;且g（0）=0，f（0）＞0.证明：存在θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0。结论：如果地面是连续变化的，则四条腿能够同时落地。这个证明利用介值定理就可使问题解决，非常巧妙而简单。
小结：通过解决身边的实例，让学生体会数学建模的形式多样性与方法多样性，了解建模思想，着重理解由现实问题向数学问题的转化过程，这个过程通过老师不断引导，使学生的建模思维不断提高，创新思维得到很好的锻炼。
作者：隋欣 单位：长春汽车工业高等专科学校
