摘要：人寿保险、养老保险等是人们日常生活中经常能够接触到的几种保险。在保险业务处理中，寿险精算作为寿险公司经营的核心与关键，在整个寿险行业当中发挥着至关重要的作用，其精算程度高低直接决定着公司的经济效益与发展状态。实践表明，用数学模型来解决寿险精算问题是一种极为有效的方法。因此，本文重点介绍了寿险精算的数学基础，数学模型建立的一般步骤，应用在寿险精算中的几种主要数学模型，并对数学模型在寿险精算中的有关应用案例进行了一定介绍。
关键词：数学模型；寿险；精算；应用
一、寿险精算的数学基础
寿险精算中的数学基础涉及到诸多概念，如计数过程、支付函数、逐段可微函数、示性过程、准备金等等。其中计数过程，以相对简单的情况来说明，假设生命只有生存与死亡两种状态，生存状态用“1”表示，死亡状态用“0”表示，从生存到死亡的演变属于一个Markov过程。该过程是以时间t为主变量的一个函数，用不同年龄内生命的死亡力来表示不同时间生命的演变程度。从单个样本来看，通过时间t就能够知晓该生命状态是否为“0”；从样本总量来看，到某一时间t时，能够计算出“0”状态的发生次数，即死亡次数。例如，终身保险。当被保险人死亡时，保险公司需要支付一定的保险金，而保险金共包括两部分，即终身保险现值与剩余寿命随机变量产生的保险金额，但在实际生活中剩余寿命是无法获得的，因而就需要借助上面的计数过程进行求解。支付函数，如果生命为生存状态“1”，那么保险费用的支付率可用时间t函数表示出来，如果在某一时刻内，生命由“1”变为“0”，即发生死亡事件，则根据上述支付率函数可以得出具体的保额。示性过程，在参与保险活动中，除了会出现上述死亡的情况之外，只要被保险人当前是生存着的，就需要每年向保险公司支付相应的保险费用。不考虑意外死亡等特殊情况，当被保险人生存时，就要履行向保险公司定期支付保险费用的义务，即保险公司会向被保险人收取相应的保费。从保险公司角度考虑，这些保险费用可以看做是支付量为负的一种生存金额。参考计数过程对终身保险的谈论来构造示性过程，与计数过程一样，示性过程也是一个时间t的函数。当在某时刻t时，如果死亡事件没有发生，那么示性过程的函数值为1，相反则为0，而生存金额的现值就可以用一个关于示性过程函数的积分表示出来，即利用该公式便能够计算出被保险人处于生存状态下需要向保险公司支付的生存金额现值。
二、数学模型建立的一般步骤
所谓数学模型，是指基于某一目的，精算师在对某一经济现象进行考察的基础上，提出一系列相关假设条件，然后选用适当的数学工具来建立能够相对准确描述出经济变量之间关系的数学模型。这种数学模型既可以是图表，也可以是方程式、方程组等，形式多样。建立寿险精算方面的数学模型大致需要遵循以下几个一般步骤：第一，明确目的。确定数学模型建立的目的，根据该目的对研究对象进行系统性考察，并提出与实际相符、相对简单明确的条件假设。第二，确立关系。按照建模目的和条件假设确定应选用的数学工具，然后对各相关变量之间的关系进行确立。第三，建立模型。根据实际需要，利用各种计算公式与算法对所建立模型进行求解。第四，分析模型。对模型求解过程和求解结果进行全面仔细的分析与研究，对模型的有效性以及模型计算结果对外界变量与各项参数之间的关系等进行深入探析。第五，检验模型。将通过求解与分析后的模型拿到实践中进行检验，检测其是否符合实际，是否能够满足寿险精算实际需求，是否能够被应用到实际中去。如果发现模型与实际不符，或是在实践中没有起到预期的作用，则需要对所提出的假设条件进行充分考虑，判断其是否合理、是否存在缺陷等。若发现有不恰当的假设条件存在，就要对其进行修改、更换与调整，然后进行重新建模，再重新检验一次。值得注意的是，在实际模型建立过程中，并不是所有的数学模型都必须完全按照这几个步骤依次执行，也不是每一个步骤都必须执行。建模者应根据实际需要对这些步骤进行灵活的运用，只有这样才能够确保建立的模型符合实际需要。
三、应用在寿险精算中的几种主要数学模型
1.精算模型。考虑到寿险精算具有长期性等特点，因而在对保险费率进行计算时就需要以稳定的、无风险利率作为依据和支持。即在应用精算模型对寿险精算问题进行处理时，要假设利率是正的，且不同时间内的利率期限结构也是相同的。为便于计算和简化模型求解，本文用利率结构函数V（t）来表示利率期限结构，其中t为投资期限长度，即利率期限，而V则表示在单位时间内投资的一定数目资金经过利率期限t后，所得到的本金与利息之和。若利率期限为t的投资利率为p（t），则利率结构函数为1+p（t）的一次求导。在寿险产品实际销售与使用过程中，对于利率期限结构的考虑通常短期要低于长期利率，即寿险产品的收益曲线是呈向下倾斜的。就利益层面而言，保险收入的投资期限越短越好，这样就可以将短期利率作为单一的预定利率来对保险费率进行计算。假设保险期为Dω，ω为时刻1,2,3，ω，当ω=1时，表示的是签发保险单的时刻，而ω则为保险单的失效时刻。将被保险人缴纳保险费所期望获得的保险收入用过程函数S(t)来表示，t范围在1,2,3，ω；将被保险人按照所签署保险合同中规定的支付金额支出用分布函数Z(s)来表示，s范围在1,2,3，ω之间。这两个数学模型反映的是被保险人的期望保险支出在不同时间段的一个分布情况。在不考虑附加费用的情况下，按照收支相等原则，假设保险支出资金由被保险人缴纳的保费和投资利息组成，则在寿险精算中利用上述精算模型来对于一个利率期限结构确定的保险收入投资期限进行科学合理的安排，便能够使将来的保险支出达到最大，即被保险人的期望保险支出效用得到最大化的实现。这体现出精算模型在寿险精算中的应用使得寿险定价问题变为一个最优化问题，即只要确定保险金额的最大值就能够得到最优的保险期望效果。它可以用线性规划来描述。2.利率模型。如前所述，假设不同时间的利率期限结构是相同的且都为正，假设最常投资期限长度为T，则利率结构函数V（t）的定义域为DT，T范围在0,1,2T。从投资收益最大化角度考虑，利率结构函数应该呈现出超指数性质，即对于任意两个不同的投资期限，单独所得投资收益的乘积要小于等于这两个期限和的投资收益。如果利率结构函数没有表现出这种性质，则需要先分别计算出两个期限的投资，然后对两期限和的投资进行重新定义，使之满足超指数性质。因此，我们可以称具有超指数性质的定义域为DT的利率期限结构函数为T期限的利率结构函数。对于一个给定的T期限利率结构函数，投资方案有很多种，显然选择其中最优的一种方案是保险公司所期望的。这就需要对期限大于T的投资情况进行讨论，首先以按照T期限进行投资，然后在对其他期限投资进行考虑，即将期限T的投资进行拓展。也就是说从某种意义上而言，期限T的投资在寿险精算中的地位将不再是必要的，而是可以用其他期限更短的投资组合进行替换。在实际的寿险行业当中，利率期限结构一般能够满足拓展后的T期限利率结构函数，这就确定了最优期限投资方案的唯一性，因此我们可以将拓展后的利率结构函数称为T周期利率结构函数。由于实际寿险精算会存在多种不同的利率，所以需要建立多种利率模型，这样才能够有效发挥利率模型在寿险精算中的效用。3.多利率寿险定价模型。在单一利率寿险定价公式当中，利率不会随着投资期限的长短而有所变化，即利率期限结构收益曲线是水平的。根据保险支出与收入相等原则，可以得出精算寿险定价公式。通过该方式得出的寿险精算定价公式是目前整个寿险行业应用最为普遍的一种定价公式。虽然上述定价公式能够相对精准的计算出单一利率下的保险现值，但在多种预定利率条件下该公式的效用就显得有些薄弱。而为满足寿险精算实际需要，就必须建立多种预定利率精算定价模型。假设T周期利率结构函数为V（t），收入函数为S（t），t值为1,2,3，ω，支出分布函数为Z（s），s值为1,2,3，ω。根据不同投资期限，将这三个函数用线性规划法表示出来，按照T周期利率结构函数所具有的超指数性质，利用该分段函数，可以得出t时刻的收入资金在s时刻所能够得到的最大本息之和。因此，从该多种预定利率精算定价模型中我们可以看出，保险公司通过合理配置保险收入的投资期限，可以得到最大值的保险支出，这就给在多种利率结构下保险费率的精确优化计算提供了必要的依据。在寿险精算实际处理过程中，有可能出现收入函数与分布支出函数在线性规划后没有可行解的情况，这意味着保险收入不能够全部用在保险支出上。如果全部用在保险支出上不仅会导致整体保险金额偏低，而且还会造成寿险产品失去竞争力，即很多保险公司将无法通过被保险人缴纳的保险费用而实现经济收益的增加，这对寿险行业来说无疑是一种巨大的打击和阻碍。为避免这一情况出现，就需要多种预定利率精算定价模型建立者，在对多种利率结构下的保险费率进行计算时对该问题进行特别的注意和重视。
四、数学模型在寿险精算中的应用案例
以多种预定利率精算定价模型在终身人寿保险精算中的应用为例，按照年交年领的方式缴纳保险费用，所领取的保险金额为固定数目，有效期为10年。为便于计算，这里只考虑扣除一切管理费用的纯保险费用。某终身人寿保险公司有多人投保个人终身人寿保险，假设终身人寿保险投险人当前年龄为X岁，每人每年需缴纳保费Y元，投资期限为N年，则当投险人年龄到X+N岁时，生存者在N年后所缴纳保费的最终现值可以通过相关公式计算出来。X+N年后，这些生存的投险人开始每年领取一定的养老金M，可持续领取10年，按照收支相等原则，参考生命表将X+N岁时投险人保险利益现值用公式表示出来。为直观清晰的看出数学模型在寿险精算中所发挥的巨大作用，本案例中预设2种投资方式：第一种投资期限是3年，到期利率为7.25%；第二种投资期限为5年，到期利率为13.5%。将前面所得到的相关公式用线性规划法进行重新整理，将其表示成一组线性约束方程。以1元为计算单位，根据上述线性约束方程约束条件，计算出两种投资方式在不同领取年龄和不同投资期限下年交纯保费的最大允许年金数额，如表1和表2。由上表可知，与单一利率下年纯保险费相比，这种多利率的精算定价公式所得到的最大允许年金额值相对要高，不同的投保年龄和不同的领取年龄，所高出的比例存在一定的差异，平均超出2.59%左右。这反映出如果年保金额是以单一预定利率方式来测算，而实际投资方式是采用上述多预定利率精算定价方式，则保险公司可以采用线性规划法对收取的保险资金进行科学合理的安排。由此可见，通过利用多种预定利率精算定价模型，该终身人寿保险公司的纯保费将会得到约2.7%的盈余。养老保险是对退休人员提供的一种养老生活保障。企业应为全体员工设定适合的养老保险计划，以为工作达到一定年限和达到退休年龄的员工提供一个退休年金给付。从寿险精算层面考虑，养老保险可以看做是一种用工作期限来缴纳保险费用进而获取一定附加给付金和延期生存年金的方式。下面通过一个数学模型在养老保险精算中的应用案例来予以详细说明。根据从某保险公司获取的一份资料发现，假设每月缴纳200元保险费用，如果从30岁开始投保到60岁开始领取养老金，则每月可领取2200多元；如果从35岁开始投保到60岁开始领取，则每月可领取1000多元；如果45岁开始投保，则每月可领取400多元养老金。现利用数学模型来对上述三种投资方式所缴纳的保险费利率进行计算。假设投保人在投保后的第n个月所缴纳的保费与利息之和为TK，则可得到两种关于TK的数学模型，从该模型中可以看出，从投保开始到停止领取养老金时间的长短取决于投保人的寿命。假设该保险公司所在地人均寿命为75岁，若从35岁开始投保，则可以确定出投保人每月缴纳的保费和领取养老金额，以及从开始投保到停止领取养老金的时间，导出保险费用利率的计算公式，借助Matlab软件求出不同投保年龄的保险利率。
五、结语
综上，数学模型在寿险精算中的应用有着极其巨大的价值与作用，但在实际应用过程中还需要相关人员对需要注意的问题进行充分的考虑，对各种数学模型进行全面深入的了解与掌握，并根据不同的保险类型、不同的投资方式与期限选择适合的数学模型对保险公司保费利率金进行精算，只有这样才能够确定出最优的保险投资方式，进而实现投保人与保险公司的共同受益。
参考文献：
[1]刘春艳,麦拉苏.导入式教学法在寿险精算课程教学中的应用[J].中国管理信息化,2013,03:98-99.
[2]段白鸽,张连增.分层模型在非寿险精算学中的应用研究评述[J].统计研究,2013,05:98-105.
[3]吕杰.数学模型在养老保险精算及风险问题中的应用[J].中国乡镇企业会计,2013,08:225-226.
[4]张连增,杨婧.连续时间马尔可夫链在寿险精算多状态模型中的应用[J].数量经济技术经济研究,2014,02:113-124.
[5]凤旻.Copula函数在联合寿险精算中的应用[D].安徽工程大学,2013.
[6]阎栗,付江涛.VaR模型及其在寿险公司风险管理中的应用[J].保险研究,2009,02:78-83.
[7]卢志义,刘乐平.广义线性模型在非寿险精算中的应用及其研究进展[J].统计与信息论坛,2007,04:26-31.
[8]张敏.本量利模型在寿险公司盈亏平衡分析中的应用[J].财会月刊,2008,15:50-51.
作者：王秦怀 单位：华盛顿大学西雅图校区
