分类讨论思想是高中数学的主要思想之一，在高中数学教学中能发挥重要作用。近几年高考数学涉及这类思维解题的方式较多，它主要通过考查学生对问题分析的深度、对理论知识的掌握程度来提升学生的逻辑思维能力，因此我们在平时的数学教学要注意多渗透分类讨论思想。
一、函数方程中分类讨论问题
分类讨论思想是将一个问题细分成几个小问题，然后对每个小问题进行讨论，实现将问题化整为零，从而简化解题过程。由于数学知识涉及范围广，比如说曲线、不定式方程等都是多变的，不同的情况有不同的答案，同样数值的负数与正数带入方程所得到的结果会完全不一样，探究问题可能出现的答案要将每个情况都考虑进去，要能对数学问题深入分析，深入讨论。而在此基础上要将相关理论理解透彻，才能游刃有余地解题。在解决函数方程中分类讨论问题时要充分结合函数图形，从四个象限分别探讨，不要漏掉原点等特殊情况，注意按照题目要求，推理得出x值能否为负数或者为小数，进而根据x值限定范围得出y值的范围。分类讨论要结合具体的题目内容，不能盲目地进行，否则很难得出正确答案。
二、解析几何中分类讨论问题
所有需要进行分类讨论的问题首先要有一个确定的对象，即要讨论的是那个因变量，特别是在含参数的不等式中，一般讨论的是参数的大小，参数为正数或负数，其解答方程的过程都是完全不同的。另外，在进行解析几何等这类图形与方程结合的数学问题时，往往以建立目标函数为突破口，结合函数与点的关系，设点为未知数，代入进方程中，进而解出表达式方程值。以苏教版高中数学教学为例，在解析几何中分类讨论的问题，例如在xOy平面上给定曲线y2=2x，设点A(a，0)，a为整数，那么求出曲线上的点至点A点距离最小的函数表达式。在解决这类解析几何问题时，首先要懂得曲线图形的基本含义，以及各种曲线图形的表达式，学生可以随机定点大致画出图形，以便进行解题。在针对有平方的函数中，要注意进行正负数讨论，设在曲线图形上任意一点为M(x，y)，那么点A至曲线上点的距离表达式为|MA|2=(x–a)2+y2，将y2等换成2x则有|MA|2=(x–a)2+2x，这个方程可简化成|MA|2=［x–(a–1)］2+(2a–1)，由题意函数方程可知，x取值范围在正数范围中，且大于等于零，那么进行分类讨论时，就可以a–1是否大于等于零做讨论。若a–1大于零，则大括号内的方程表达式为x－a+1，x=0时，MA距离为a2，对不同方面进行讨论，从而得到完整的函数表达式，另外在解题时注意找到分类的标准。找出题中隐藏的限定范围值。
三、排列组合中分类讨论问题
在排列组合中分类讨论问题上，要了解组合的含义，另外这类题目比较复杂，对学生的思维能力考验较强，需要很强的逻辑思维能力，将组合的各种可能因素都要考虑到。且这类题目解答比较烦琐，很容易引起学生厌烦，但只要把握解决题目的规律就能确保结果正确。以苏教版高中数学为例，排列组合中分类探讨问题上，例如四个男孩和三个女孩站成一排，在男孩小明前面必须站有一个女孩，且前面的女孩数量一定小于后面的男孩数量，那么有几种排法?解排列问题时，要注意何为一种排法，像此类排列问题，每个男孩女孩站位不同都是不同的排法。因此，对每一个人排列都要进行分类探讨。在讨论时可以按照前面的女生个数进行讨论，由题可知女生只有三个人，且最多情况是小明前有两个女生。那么第一，小明前面只有一个女生，那么就有A3A5种方案;第二，小明前面有两个女生，那么就有A3A4，第三，小明前面有一个女生和一个男生，那么就有C3C4A3A4，将以上三类情况加起来，得到最终结果。在做排列组合题时，要充分结合题意，将每种情况都考虑进行，防止漏掉等情况。综上所述，在解决数学问题时，利用分类讨论思想能将问题简化，提高结果准确性，锻炼学生的思维能力，因此我们平时要鼓励学生多进行训练，多做习题，多进行案例讲解，学生听得多了，做多了，就能养成正确的思维逻辑习惯，进而增强解题能力，提高解题效率。
作者：孙荣贵 单位：江苏省阜宁县第一高级中学
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