1刚柔耦合动力学建模与动态分析
1.1基于拉格朗日方程的刚柔耦合动力学建模在对硅片传输机器人动力学模型过程中，需要对实际机器人进行如下合理的假设：①将硅片传输机器人手臂等效为均质杆，将关节质量等效为集中质量；②将同步带以及谐波减速器等效为无质量线性弹簧，系统阻尼采用比例阻尼进行简化。经过上述假设后，硅片传输机器人手臂可由如图2所示的简化模型表示。硅片传输机器人手臂简化模型中各物理量参数定义及其数值见表1。1.2硅片传输机器人动态特性分析柔性系统一般有多阶固有频率以及模态，但并非所有阶固有频率和模态会对末端轨迹精度造成影响。为了有效地选取优化变量，首先应先对柔性系统进行固有频率及模态等动态特性分析，从中寻找对末端轨迹精度有影响的模态以及对应的固有频率阶数，从而将优化重点放在为对末端轨迹精度影响较大的固有频率阶数上。由于固有频率为系统的固有属性，因此将硅片传输机器人手臂的刚柔耦合动力学模型写为式(2)的形式进行模态分析根据模态分析理论，柔性系统固有频率以及模态振型可由式(3)求得，其中ω为固有频率，A为模态振型矢量硅片传输机器人手臂柔性关节系统的质量阵为时变矩阵，因此其固有频率会随着末端的位置变化而变化。采用表1的系统参数进行仿真得到硅片传输机器人手臂固有频率特性如图3所示。由图3中可以看出机械臂的固有频率随末端点位置变化而变化。选取末端点位置最远点进行模态分析，分析结果如图4所示。由模态分析结果可以看出，系统的第三阶模态各个关节角的振幅比例约为1:–2:1。根据硅片传输机器人手臂的结构原理，大臂、小臂以及末端手的关节角度按照1:–2:1运动时，末端点的运动轨迹为一条直线，故三阶振动状态对末端轨迹的直线度并不造成影响。因此，对于硅片传输机器人手臂进行优化设计时，只需要重点考虑一阶与二阶的振动，以提高系统一阶与二阶固有频率为主要目标。
2手臂结构优化变量确定
如何在可优化变量中找到对固有频率影响最大的设计变量通常需要进行灵敏度分析。当优化参数以一很小值变化时，将此时固有频率的变化量作为该结构参数对固有频率的灵敏度。通常固有频率对结构设计参数的灵敏度可由式(4)表示式(4)的前提条件为设计变量bj的修改量必须很小。而在实际应用中，对不同设计变量改变同样数值时的难易程度并不相同，而对优化变量改变同样百分比的数值的难易程度基本一致。例如硅片传输机器人柔性关节刚度数值相对较大，而手臂质量较小，如果同样采取0.1为改变量时，刚度修改比质量修改更容易。因此，本文提出固有频率权值的概念，并以权值作为优化参数的选择依据。2.1权值概念在结构优化设计中，固有频率一般为多个优化设计变量的隐函数，可将固有频率按式(6)进行展开，其中偏导数项即为固有频率的灵敏度，而权值向量则表示所有变量对固有频率数值“贡献”的比例。优化变量的权值越大说明该变量对固有频率的影响越大。2.2优化参数确定根据上述理论，分别对硅片传输机器人手臂的优化参数进行灵敏度分析与权值分析。结构参数对一阶固有频率的灵敏度分析结果如图5所示，结构参数对一阶固有频率的权值分析结果如图6所示；结构参数对二阶固有频率的灵敏度分析结果如图7所示，结构参数对二阶固有频率的权值分析结果如图8所示。从仿真结果中可以看出：当采用灵敏度作为选择依据时，关节处的等效惯量灵敏度最高，而其余参数均较小，当采用权值作为选择依据时，手臂质量、杆长以及柔性环节刚度对固有频率影响较大，显然采取权值作为判断依据更符合实际情况。其中权值为正表示参数增大时固有频率提升，权值为负表示参数减小时固有频率提升。分析结果表明：对一阶固有频率的权值较大的变量为：腕关节集中质量、末端手臂质量、小臂与末端手长度以及同步带的刚度；对二阶固有频率的权值较大的变量为：腕关节质量、小臂质量、末端手臂质量、小臂与末端手长度以及同步带刚度。本文只重点考虑质量的优化，且腕关节集中质量主要为轴承等标准件，无法进行优化。因此，最终的优化变量确定为：小臂质量与末端手臂质量。同时注意到大臂的质量对一阶与二阶固有频率均无影响，必要时可以考虑增加大臂的质量来增加竖直方向上的刚度。
3手臂结构优化设计
根据上述分析结果，最终选取硅片传输机器人小臂质量与末端手臂的质量作为优化参数，减小质量参数有助于固有频率的提高。然而大幅度的减小手臂的质量必然造成手臂在竖直方向上的刚度降低，从而使悬臂结构在竖直方向上的静态变形增大以及在竖直方向上的振动的加剧。因此在减小手臂质量的同时，需要考虑对竖直方向上变形的影响。3.1优化方法及约束方程推导将硅片传输机器人小臂与末端臂简化为图9所示的等截面空心梁。其中H与W为空间尺寸约束条件，通常为常数；h1、h2、h3为手臂厚度变量；L为手臂长度。OYZ为截面坐标系，YC为截面弯曲中性轴。硅片传输机器人小臂与末端臂的受力均可等效为图10所示的形式。图10中p为手臂自身重力引起的均布载荷，Fe为等效力，Me为等效转矩。则手臂末端的挠度、由于硅片传输机器人手臂为串联结构，故式(8)中的等效力与等效力矩均参数均与该手臂所承载的后端的手臂的质量以及长度参数有关。因此，在进行硅片传输机器人手臂结构优化设计时需要从末端手臂开始设计，随后再设计小臂。3.2末端手臂优化设计在硅片传输机器人末端手臂设计时，末端手臂所承受的等效力与等效转矩由末端手与负载的参数决定。通常末端手与负载的参数为常数，且末端手等效载荷以及尺寸约束参数数值如表2所示。仿真结果表明：末端总变形随末端手臂上壁厚度的增加而增加，但当上壁厚度大于2mm后末端总变形基本不变；侧壁的厚度对末端总变形的影响较小，基本可以忽略；末端总变形随着末端手臂下盖厚度增加而增加，但当下盖厚度大于1mm之后，总变形增加的较为缓慢。因此，末端手臂厚度尺寸最终确定为：上壁厚度2mm、侧壁厚度1.5mm、下盖厚度1.5mm。3.3小臂结构优化设计末端手臂优化完成后，小臂的等效力与等效转矩参数即可以确定。小臂受力及约束尺寸参数数值如表3所示。仿真结果表明：末端总变形随小臂上壁厚度的增加而增加，但当上壁厚度大于2mm后末端总变形基本不变；侧壁的厚度对末端总变形的影响较小，基本可以忽略；末端总变形随着小臂下盖厚度增加而增加，但当下盖厚度大于1mm之后，总变形增加的较为缓慢。因此，小臂厚度尺寸最终确定为：上壁厚度2.5mm、侧壁厚度2mm、下盖厚度1.5mm。
4优化前后性能及参数对比
优化前后的小臂与末端手臂的三维模型如图17所示(手臂的下端盖未显示)。优化前后手臂质量以及硅片传输机器人手臂系统的固有频率数值对比关系如表4所示优化前后硅片传输机器人手臂系统由悬臂引起的竖直方向上的静变形、静应力以及竖直方向上的振动频率如图18～23所示。由表5与表6可以看出：优化前后末端手臂质量降低了50%，小臂质量降低了18.8%；一阶固有频率平均值与二阶固有频率平均值均提高了10%；竖直方向上最大静态变形量降低了52.3%；系统最大应力降低了58.3%；竖直方向上的振动频率提高了45.2%。
5结论
(1)提出一种硅片传输机器人手臂结构优化设计方法。该方法以各手臂静挠度以及由手臂弯曲引起的末端竖直方向上的静偏移为约束，以刚性杆柔性关节系统固有频率为优化目标，以各手臂壁厚为主要优化参数。(2)依据结构参数对固有频率灵敏度的大小为原则选择优化变量对硅片传输机器人结构优化设计并不适用；提出了以设计参数对固有频率权值为优化变量选取依据准则的方法，并根据该准则选取了小臂与末端臂的质量参数作为硅片传输机器人的优化变量。(3)建立了以手臂厚度为变量、以手臂结构尺寸为约束的手臂挠度模型与末端竖直方向静偏移模型。分析了手臂厚度对末端静偏移的影响。其中侧壁厚度对末端静偏移影响较小，可以忽略；末端静偏移随着上壁厚度与下臂厚度的增加而减小，但上壁厚度与下臂厚度增加到一定程度时，末端静偏移基本不变。(4)采用该方法对硅片传输机器人手臂进行了结构优化设计。优化前后末端手臂质量降低了50%，小臂质量降低了18.8%；刚性杆柔性关节系统一阶固有频率平均值与二阶固有频率平均值均提高了10%；竖直方向上最大静态偏移量降低了52.3%；系统最大应力降低了58.3%；竖直方向上的企业生产管理振动频率提高了45.2%。
作者：刘延杰 吴明月 王刚 蔡鹤皋 单位：哈尔滨工业大学机器人技术及系统国家重点实验室
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