1向量的数量积的研究
有关向量的数量积的研究。王仁明对“课本中的两个公式”加以证明，引出了向量数量积在代数中的应用。这个证明对于求线面角、二面角、线线角有很大的帮助综上所述，目前国内研究向量在解析几何中和立体几何中的应用的文章见于诸多报刊杂志，但是把它运用到代数方面的更少。至于研究向量法在中学数学中的应用的文章则更少。因此，本课题从在几何和代数方面入手进行探讨和研究，力求把这些方法运用到中学数学中去。
2向量法的应用
目前对向量法在中学数学中的应用涉及到四个方面：在平面几何中的应用，在平面解析几何中的应用，在立体几何中的应用，在代数中的应用。2.1在平面几何中的应用在证明某些几何问题时，往往需要作辅助线，去证明三角形全等、相似等情况，做起来非常复杂。但是如果运用向量法这一工具，将会使问题简单。例1[2]证明：连接三角形两边中点的线段，平行于第三边且等于第三边的一半。证明：设△ABC两边AB，AC之中点分别为M，N（如图1）那么：MN=AN-AM=12AC-12AB=12（AC-AB）=12BC所以MN//BC且|MN|=12|BC|这说明三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半。评注：诸如此类问题很多，如证明：共点、共线、平行等问题，都可应用向量的线性关系来解决。向量的线性关系包括线性相关、线性无关、线性组合等。例2证明平行四边形对角线的平方和等于它的各边的平方和。分析：要证明边与边之间的关系，我们可运用正弦、余弦定理来证明。但是比较复杂，如果运用向量这一工具就有新的面貌出现。证明：[2]如图2在平行四边形OACB中设两边为OA=a，0B=b，对角线OC=m，BA=n那么m=a+b,n=a-b于是n2=(a-b)2=a2-2ab+b2所以m2+n2=2(a2+b2)即|m|2+|n|2=2(|a|2+|b|2)评注：向量法还可用于证明三角形的中位线交于一点，高线交于一点。从例1，例2中可以看出用向量法解平面几何中的共点、共线、平行等问题时，向量的线性关系起着极为重要的作用。2.2在平面解析几何中的应用例3已知：[3]抛物线y2=2px(p>0)，若有过动点M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A，B|AB|≤2p（1）求a的取值范围。（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。分析：利用两向量共线的充要条件，a//b有且只有一个实数λ使a=λb(b≠0)解：（1）设则评注：解析几何中有关动点、动直线、动弦、动角、动轨迹的最值问题，往往覆盖面广，综合性强，解法灵活，不易掌握，这类问题常用向量法去求解或证明。从例3，可以看出利用向量知识解决解析几何问题的基本思路是：根据题意巧构向量或把题目中有关线段看作向量，利用向量中的有关公式列出方程求解。思路清晰，方法简洁规范。2.3在立体几何中的应用例4[6]如图4正方体的棱长为a，F是CC1的中点，O是下底面中心，求证：A1O⊥平面BDF分析：要证明直线L与平面垂直，只需证明这条直线L与平面a的法向量n满足L=λn的关系即可，其中λ为非零常数。证明：建立如图4所示的空间直角坐标系D——XYZ则D（0，0，0），B（a，a，0），F（0，a，a/2），A（a，0，0），O（a/2，a/2，0）设n=（x，y，z）为BDF的法向量容易计算n=（1，-1，2）[1]A1O⊥平面BDF评注：此问题还可以推广，证明线面平行、面面平行、面面垂直的问题都可以转化为用向量法来证明。从例4可以看出利用向量法这一工具解立体几何问题，有利于避开立体几何传统解法的繁琐的推理。从而降低思维难度，使解答过程流畅、简洁，易于掌握。2.4在代数中的应用例5[7]求证：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ证明：如图5，在单位圆上取两点A、B，使∠XOA=α，∠XOB=α-β，则∠AOB=α-β所以OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ故cos（α-β）=cosαcosβ+sinsinβ评注：此题用了两矢量的数量积。此问题还可以推广到求两直线的夹角。从例5可以看出用向量证明两角和、差的余弦公式和证明不等式，可以省略许多环节，使学生也较容易理解。从以上几个例子可以看出，利用向量知识解决中学数学中的问题的基本思路是如何科学合理的把题中的某些元素向量化，或根据题意巧构向量。利用向量法不仅可以求解或证明几何问题，还可以求解或证明代数问题，尽管向量的概念简单，但是我们如果细心体会，深刻挖掘，就可以发现在简单的概念后潜藏着巨大的意义和作用，因此，当代大学生和教育一线的教师把握好向量法中学数学中的应用这一点，这有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识和创新精神有着十分重要的急救医学论文作用。
作者：王盛 单位：云南省巧家县二中
