例1在“数学归纳法”这一节的教学中教师可以先提出这样一个问题：是否存在常数a，b，c使得等对一切正整数n都成立？提问学生此类型题目应该如何解答．通过这样的教学过程，使学生学会了数学归纳法的思想，数学归纳法是数学中的重要方法，也是高考中考查的主要内容，而本题也是其中考查的一种方式．解此类型的题目往往需先归纳、猜想，然后用数学归纳法进行论证．所以在探究过程中，首先要指导学生找到命题成立的“归纳基础”，并且引导学生关注探究归纳法的论证过程的思维品质和证明层次，其次解决的是延续性问题．强调两个步骤缺一不可且表述严格、规范，第二步中，证明“当nk1时结论正确”的过程中，必须利用“归纳假设”即必须用上“当nk时结论正确”这一条件，“当nk时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用；“当nk1时结论正确”则是求证的目标．在具体探究过程中，按归纳法的原理，要先提出归纳假设和前提．接着去求证当nk1时的结论．因为这一点对学生来说是一个难点，所以让学生体会到这样的数学思想很重要．因此在讲解完这个题目之后，教师还可以举出一些与生活密切相关的问题来加深学生的印象并锻炼学生的思维．通过诸多事例的感性接触，学生能从整个探究过程中发现归纳法的实质与其发展轨迹，从而掌握其精髓思想，不仅塑造了严谨的求证精神，也锻炼了归纳思维和独立探究的动手能力．
1在习题课中的探究
数学习题课的教学，体现了学生进行“解决问题学习”的活动过程．从某种意义上说，学数学就是学解题方法、技巧以及思路．在习题课中开展探究性学习的两个基本原则：（1）习题课的探究性学习要力戒“题海战术”，应力求举一反三，注重问题的拓展与延伸．例2画出反比例函数1yx的图象．（1）这个函数的定义域I是什么？（2）请求证它在定义域I的单调性．这个问题从表面上看是比较容易解决的．但我们并不是只追求结论，而是要让学生真正领会反比例函数的性质并能进行自主探究．这就需要教师对这个问题进行拓展与延伸．
2在复习课中的探究
数学探究性的一个突出特点是开放性，这是探究性学习的根本属性，只有发现并充分利用，数学课堂才有生成性和活力．得益于此，数学探究的内容与解决问题的措施就可以有更多的选择，呈现开放性的特点，学生也就能在这多样性中通过自己的思考、推理，去发现疑点，去检验理论的正确性，在不断试错中总结规律，取得比传统教学模式只能有唯一答案更丰硕的成果．当然，要想取得理想的课堂探究效果，还必须要求作为引导者的教师提高创设情境的能力，让数学思想、数学问题紧密结合现实生活，使学生有种“最熟悉的陌生感”，进而产生思维的刺激与新鲜，从而产生探究的好奇与冲动．同时教师也要营造平等愉悦的课堂氛围，以亲和力和诱惑力引导学生进入一种“知无不言言无不尽”的言说状态，进一步提高学生探究数学的积极性和效率．例4一出租车公司2014年初用98万元购进一批出租车，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，这批出租车投入使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后这批出租车的盈利额为y万元．要求任意选择两个条件中的一个为条件，三个结论中的两个为结论，构建并求证一个正确的命题．数学探究性问题的解答往往要求学生能读透题目供给的已知条件、公式、背景等因素，进而得出隐含的条件和规律性的结论，再根据题目的要求找出一条甚至多条抵达最终目标的途径．在寻找途径的过程中，学生要充分利用掌握的材料去试错、去纠错、去穷尽所有的可能，再将不同情况下得出的结论进行对比分析与逻辑推理，从而得到最接近问题真相的结论．开放题的开放性决定了它能为学生提供广阔的思维空间和独立探求知识的机会，并且开放题条件、结论的不确定又可以使学生摆脱单一思路、固定答案的束缚，让学生学会积极的探索、思考．同时教师也可以适时地给予指导、启发、鼓励，甚至教师可以与学生进行共同探究，这样不但发展了学生的创造力，还很好的体现了学生在学习中的主体地位．凡是没经历过在黑暗中摸索、跌倒、再出发从而迎来黎明的曙光的人是不足以与之谈人生的，同样的，没经历过对数学的一番执着而热烈的探究的人是难以体会到数学的真谛的．探究性学习对于教师与学生都是一个崭新的挑战，学习的征途上既有许多未知障碍，但也有着莫大的回报与乐趣．只要师生同心，坚定信心，携手同行，在经过一段旅程之后你一定会对它有新的认识，并且随着你在这条道路上的不断延伸，必将发现一个又一个新的问题，解决一个又一个的难题，收获全新的思维品质和人生．
作者：苏洁 单位：福建省莆田第四中学
