1计算概率的问题的关键
一种错误的解法是:记事件A为“取出的产品是合格品”,则“取出的产品是次品”为事件A(即事件A的对立事件),而P(A)＝0.03,所以P(A)=1-P(A)=1-0.03=0.97。表面看起来并没有错,可是如果仔细分析就会发现P(A)＝0.03显然不成立。这是因为:0.03表示制造产品这一行为之前对随机事件“制造的产品是次品”发生的可能性的大小,是机床制造出次品的可能性的大小,而P(A)是制造产品这一行为发生之后随机抽检时随机事件“取出的产品是次品”发生的可能性大小,是抽检的产品是合格品的可能性的大小,所以两者之间并没有必然的联系,因而也就不能把它们混为一谈,“0.03”实际上对于解决问题没有意义,甚至可以说是一个干扰因素。正确的做法是:对于抽出的一件产品检验,共有两个结果,合格和不合格,而且两者发生的可能性是相等的,因此P(A)＝0.5。也就是说这个问题实际上是等可能事件的概率的问题,题目中的前提“用一台机床制造某种产品,制造的产品是次品的概率是0.03”仅仅只是说明了该机器制造的产品有合格品也可能有次品,因此,“从该机器制造的产品中任取一件检验是合格品”是一个随机事件。把问题稍作改动,变为“抽出两件产品检验,是合格品的概率是多少？”则是一个相互独立事件同时发生的概率的问题,因为抽出的两件产品中的任意一件是合格品的概率都是0.5,对另一件是合格品的概率没有任何影响,所以结果是0.25。
2两个区别
(1)统计结果与概率的区别。中学数学中的概率部分主要涉及的是概率的统计定义:实验次数无限增大时,某事件发生的频率趋近于一个常数,把这个常数叫做该事件发生的概率。在教学和学习的过程中,经常会忽略定义中的关键词“实验次数无限增大时频率趋近于常数”而简单的把频率等同于概率,以至于解决问题时出错。这是因为频率毕竟只是统计结果,而概率是对随机事件发生的可能性大小的判断。更重要的是统计结果是根据对样本的分析而得出的对总体的估计,而概率通常只是对总体中的个体或是一个小容量的样本的分析判断。二者有本质上的区别。例4:对A地0到6岁的儿童统计发现,其中男孩占53%,女孩占47%。已知A地某户有一个小孩(0～6岁),问这个小孩是女孩的概率是多少。解:该地由于0～6岁的儿童中男孩占53%,女孩占47%,因此,A地该户的小孩(0～6岁)是男孩的概率是53%,是女孩的概率是47%。这种做法把统计的结果等同成了随机事件的概率,这显然是不可取的。正确的做法是:该小孩是男孩和是女孩的可能性相等,是女孩的概率是0.5。由此可见,统计结果和与统计对象中某个个体相关的随机事件的概率没有联系,因此,在解题过程中要格外重视题目中给出的是统计结果还是概率。(2)随机抽取和固定对象。这里所说的随机抽取指的是在所描述的所有对象中任意抽取一个或几个,而固定对象指的是描述的对象中某个或几个固定的个体,两者之间有着明显的区别。例4中的“两个小孩”就是固定的对象,所以与统计的结果没有关系,要求的只是他们都是女孩的概率。而下面的例5中的“两个小孩”则是随机抽取,于是统计的结果对解题就有不可或缺的意义了。例5:对个A地0～6岁的儿童统计,结果男孩占53%,女孩占47%。从中抽出1名,问都是女孩的概率是多少。解:随机抽取时,每个小孩被抽到的可能是一样的。而A地0～6岁的儿童统计结果是男孩占53%,女孩占47%,也就是说随机抽取一个,是女孩的概率是47%。从以上几点可以看出,在理解和解决与概率有关的问题时,一要理解清楚随机事件。二要弄清问题中的随机事件的本质特征,即问题是等可能事件的概率还是相互独立事件同时发生的概率。三是弄清题目给出的条件与所求概率的事件的关系,否则很容易发生错误。
作者：王鹏彦 单位：甘肃省平凉市平凉师范学校
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