一、引导学生转变观念，探讨学习方法
当前很多大学生，尤其是工科大学生在大学数学如离散数学、高等数学等课程中感到较为吃力，主要原因是：学生进入大学阶段后，由于对大学数学和高中数学各自的特点缺乏清醒认识，学生在学习观念和学习方式上没有及时地转变，导致与当前的学习规律脱节。相比较而言，高中数学内容相对简单，定义少，内容浅，特别重视对学生技巧的考察。因此高中学习中，学生往往通过大量求解习题来提高技巧和应试能力。而大学数学内容庞杂，概念多，逻辑性强，知识关联度高，应试要求较低。大学数学学习的目的一方面是希望学生掌握一定的数学工具，从而为后续课程做准备并应用其解决一定实际问题；另一方面则是希望提高学生的逻辑推理能力、思辨能力及文化素养。
因此教师应该在教学中及时地引导学生转变观念。首先应当引导学生把学习方式从习题填鸭式转变为重视课本、重视概念以及重视思考。教师应当引导学生以阅读揣摩课本概念、课堂听讲和实例思考为主，适当练习、回答教师问题和联想对比为辅上来。尤其要强调学生对概念的理解和运用。其次应当提醒学生不应割裂已有知识和现有知识的联系。这一点在离散数学中表现的尤为突出。例如离散数学中推理理论就是对以往证明体系和方法的一次再发掘和深度升华；离散数学中的代数是对初高中数域及其数学运算符号（如加号、乘号、除号等）的再认识和提升，能够引导学生对比数字0在加号世界和数字1在乘号世界的作用对于学生深刻理解代数系统及其特殊元素有非常重要的意义；离散数学中的关系是对初、高中等号、大于号、大于等于等符号以及平面几何的全等、相似等符号的抽象升华。最后，教师还应该督促学生有意识地去构建各自的知识体系，并主动地应用所学的知识来解释或者研究一些实际问题或者日常生活中的一些现象。教师还应该注重对学生学习方法进行督促。例如，建议和督促学生在读书和课堂学习的时候及时做读书或听课笔记，建议学生不要碎片化学习，并在笔记和勤思考的帮助下建立完整的知识体系；引导学生对一些相关概念举正例、举反例，强化学生对例子的重视，帮助学生从“虚”的概念过渡到“实”的例子；引导学生进行形象化思维，尤其重视在数学学习中的几何直观性和图形直观性，引导学生从“抽象”的概念过渡到“形象”的几何或图形。
二、注重抽象概念的直观化、生动形象化
离散数学概念多、符号多，是一门较为抽象的数学课程。而学生在学习过程中较为容易接受的是直观、形象化的内容以及在以往学习中已经较为熟悉的概念或者内容。因此在教学中应当在注重理论严谨性的同时向学生展示概念和定理背后含义的直观性。这需要在讲授过程中注重抽象概念的形象化引入。此外在引入概念的时候应当注重和以往知识的联系。这一点在离散数学教学中可以充分应用。下面我们举例说明。在引入“等价关系”的时候，最直接的概念是具有自反、传递、对称性质的二元关系。该定义虽然严谨，但是不具有直观性，很难判断引入等价关系的目的。因此可以先从分析有理数中的等号“=”入手。由于有理数中等号的存在，我们可以对1/2、2/4、4/8等所有和1/2相等的数不加区分地看待，事实上在此观点上实际上有理数变得“少”了,例如1/2、1/3都代表了一大堆(无穷)的数。由于等号的存在，我们能够以更加简洁的方式去看待有理数,即有理数集可以看作由互不相等的有理数组成的集合，每个有理数代表着所有和它相等的有理数。
在此基础上我们便可以轻松地引入等价关系。等价关系实际上是提取了等号的最本质的三个特征，对等号在其他集合上进行了推广。在一个集合上引入等价关系，实际上形成的结果类似于等号在有理数中形成的结果。也就是把原始集合划分了类，每一类内元素我们可以不加区分地对待。从而我们可以轻松地引入等价类的概念，并可以探讨等价类中代表元的选取性问题。在此基础上我们应当进一步让学生举例以往学习过的等价关系，这将有助于深刻地理解等价关系的含义和作用。事实上，如果能够让学生去分析三角形的全等关系、相似关系等以往熟知的但满足自反、传递和对称性质的关系，能够极大地提高学生对等价关系、等价类以及为什么引入等价类等关键问题的认识。类似地，我们还可以去分析代数中较为难理解的“置换性质”。再比如在介绍图的同构的时候，可以类比联想化学中的分子结构。可以举例当前比较热门的手性分子的研究，分析手性分子的是否同构。手性分子，是化学中结构上镜像对称而又不能完全重合的分子。总之离散数学的教学内容很多都可以很直观地解释。这些形象化解释非常有助于提高学生兴趣，加深学生对内容的理解。
三、注重基本原理的贯穿，注重证明方法的传授
离散数学是一门非常基础的数学课程，集中介绍了对离散个体及离散结构的描述方式和处理算法。该课程涉及到很多基本原理和基本问题，如鸽巢原理、容斥原理、证明的基本原理（如反证法、附加前提证明法）、数的可数性问题等等。教学过程中应当注重这些原理在本课程所有部分中的贯穿运用，而非仅仅在集中介绍相应原理的部分讲解，这样有助于学生掌握离散数学的“神”而非仅仅掌握“形”。虽然计算机专业对学生的证明能力的要求不是特别高，但是还是应当利用可能的机会向学生传授基本的证明方式、方法。这里需要指出的是，首先应当破除学生对证明的畏惧心理。这里有两个方式可以借鉴：一种方式是鼓励学生用自己的语言去翻译一些证明过程或者直观地去想象，然后再鼓励学生用严谨的数学语言描述；另一种方式是鼓励学生利用基本的定义去翻译条件和结论，而后利用直接证明法或利用附加前提法去证明。事实上应当向学生传达的基本观念是，在高等数学中常见也是最重要的证明方式是利用基本定义证明。这有别于高中数学里面技巧大行其道的状况。只有掌握了基本的证明原理才能够去思考更多的技巧，从而解决更多的问题。
四、注重结合应用和历史渊源进行讲解
离散数学包含的内容丰富，既包含数理逻辑、集合论、代数结构又包括图论。但是单单介绍每一块知识，容易让学生云里雾里，不知由来。事实上，这每一个部分都有非常精彩的历史来源和故事以及精彩的应用。例如在讲到数理逻辑的时候可以首先介绍理发师悖论以及它在当时产生的学术和社会影响，还可以进一步介绍罗素精彩而丰富的一生。同时还可以由通俗的理发师悖论过渡到康托早期提出的集合悖论，从而使学生能够对朴素的集合理论以及它背后的问题有深刻而清楚的理解。在介绍群理论的时候适当结合历史上对五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题的研究。还可以顺带介绍伽罗瓦短暂而精彩的一生，以及对后世的影响。这些历史渊源或者提出背景不仅有助于激发学生的学习兴趣，更有助于学生清晰地构建自己的知识体系。
五、注重与专业知识的结合
离散数学是计算机专业的必备基础课，对计算的发展有至关重要的作用，在计算机中的应用不胜枚举。这里我们仅介绍一些更为具体的结合。例如在介绍集合论中关系的三种表示的时候，一般会强调图的直观性，在此应当更多地强调矩阵表示的紧凑性和算法实现的方便性。鼓励学生更多地借助矩阵去实现和图相关的所有操作。在介绍关系合成、交并补等运算时，离散数学中引入了新的矩阵运算符号如矩阵的合取、析取。这里可以让学生结合编程中“重载”的概念对这里的符号进行理解。这里的合取、析取已经由逻辑0和1的运算重载为逻辑矩阵的运算。在介绍求相容关系的关系矩阵法时，可以向学生解释对阵矩阵的计算机处理以及利用下三角矩阵处理关系对阵性质的优势，并对比全矩阵阵进行算法复杂度分析。这些细致而贯穿始终的分析能够帮助学生理解学习离散数学的意义，并加深对相关学科知识的理解。
六、结语
总之，离散数学教学中有相当多的内容可以挖掘，从而提高学生兴趣。总体，应当将抽象的理论简洁而形象地传授给学生，注重历史渊源和应用场景对学生学习的影响，同时注重数学科技期刊的严谨性和统一性。此外还应该根据每一个班级的专业特点和学生自身状况调整教学内容和方法，以提高教学实效。
作者：彭佳林 单位：华侨大学 计算机科学与技术学院
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