一、欧拉角的引入
（一）引子问题
设O－xpypzp和O－xqyqzq是两个原点重合、坐标轴方向不重合的空间直角坐标系，分别以P和Q表示。确定两个坐标系的空间关系可以通过确定坐标系Q在坐标系P中的位置来实现，这相当于取坐标系P为参考坐标系。那么如何确定坐标系Q在坐标系P中的位置呢？
（二）解答
两个平面直角坐标系的空间关系用一个转角就可以刻画。能否用转角来刻画两个空间直角坐标系的空间关系呢？确定坐标系Q在坐标系P中的位置，只需依次确定坐标系Q的两个坐标轴的位置，以依次确定Oxq轴和Oyq轴的位置为例。首先确定Oxq轴。在图1中，ON是Oxq轴与OxP轴所在平面OxqxP与平面OypzP的交线，同时是Oxq轴在平面OypzP内的投影。ON到OzP轴的转角记为β，OxP轴到Oxq轴的转角记为α。两个转角可以唯一确定Oxq轴在坐标系P中的位置。对于转角，规定逆时针转动为正，转角取值范围限制为（－180°，180°）。Oxq轴的位置确定后，由于Oyq轴被限定在Oxq轴的垂面内，所以只需要一个角度来确定Oyq轴在垂面内的位置便可以确定Oyq的空间位置。Oxq轴和Oyq轴的位置确定后，Ozq轴的位置由右手法则确定。可见，可以利用三个转角确定一个坐标系相对于另外一个坐标系的空间关系。
（三）点评
利用两个转角刻画Oxq轴在坐标系P中的位置，这种方式也提供了通过两次转动使得OxP轴与Oxq轴重合的方案。（1）首先，坐标系P绕OxP轴转动角度90°－β，使得OyP轴与ON重合，得到的中间坐标系记作Ox′Py′Pz′P；（2）接下来，中间坐标系Ox′Py′Pz′P绕OzP轴转动角度α，便可以使得Ox′P轴与Oxq轴重合，得到的中间坐标系记作Ox″Py″Pz″P。当坐标系P经过两次转动使得OxP轴与Oxq轴重合后，中间坐标系Ox″Py″Pz″P的Oy″P轴与Oyq轴同位于Oxq轴的垂面内，Oyq的空间位置可以用Oy″P轴到Oyq轴的转角γ来刻画。同时，只需将中间坐标系Ox″Py″Pz″P再绕重合的坐标轴Oxq轴转动角度γ，便可以使得坐标系P与坐标系Q重合。可见，三个转角＜90°－β，α，γ＞及转动顺序（1、3、1）（这里1、2、3分别表示坐标系的x轴、y轴、z轴）可以完整刻画两个坐标系的空间关系。这里的转角就称作欧拉角。至此，我们顺理成章的引入了欧拉角的概念。
二、欧拉角的分析
（一）欧拉角的组数
显然，用欧拉角确定两个原点重合坐标系的空间关系有多种选择。一方面，通过两次转动重合的坐标轴可以在第一轴、第二轴和第三轴之间任意选择；另一方面，通过两次转动使一组坐标轴重合也有多种实现方式。下面以Oxq轴与Oxp轴重合为例，分析所有实现方式。（1）利用Oxq轴与Oxp轴所在平面Oxqxp（见图1）。在对引子问题解答的点评中，给出了按照1、3顺序转动的方案＜90°－β，α＞。也可以采用另一种方案使得Oxp轴与Oxq轴重合。首先坐标系P绕Oxp轴转动，使得Ozp轴与ON重合，然后绕中间坐标系的Oy′P转动使Ox′P轴与Oxq轴重合。两次转动的角度分别为－β和－α，转动顺序为1、2。（2）利用Oxq轴与Oyp轴所在平面Oxqxp（见图2a）。只有一种方案：先绕2轴转动使得Oxp轴与ON（Oxq轴在平面Oxpzp的投影）重合，然后绕3轴转动到达Oxq轴的位置。两次转动的角度分别为覫－90°和90°－φ，转动顺序为2、3。（3）利用Oxq轴与Ozp轴所在平面Oxqzp（见图2b）。只有一种方案：先绕3轴转动使得Oxp轴与ON（Oxq轴在平面Oxpyp的投影）重合，然后绕2轴转动到达Oxq轴的位置。两次转动的角度分别为90°－λ和η－90°，转动顺序为3、2。可见，通过两次转动使一组坐标轴重合有四种转法，相应的首先使该组坐标轴重合，然后再使两个坐标系重合的转法也就有四种，对应四组欧拉角。转动使两个坐标系重合时首先重合的轴有三种选择，因此使两个坐标系重合的转法有12种，对应12组欧拉角。
（二）特殊情况
本文所考虑的两个坐标系的坐标轴方向不重合。当两个坐标系的1轴共坐标系P的坐标平面，即Oxq轴位于平面Oxpyp或者平面Oxpzp内时，上述四种转动方案退化为两种。以Oxq轴位于平面Oxpyp内为例，设Oxp轴到Oxq轴的转角为θ，一种方案为按照1、2顺序转动＜－90°，－θ＞，另一种方案为绕3轴转动θ。此时，如果两个坐标系的2轴和3轴均不共坐标系P的坐标平面，那么使两个坐标系重合的欧拉角有10组，其中一组仅有两个欧拉角。如果两个坐标系的另外一组坐标轴也共坐标平面，例如Oxq轴位于平面Oxpyp内，同时Oyq轴位于平面Oypzp内时，使两个坐标系重合的欧拉角有8组，其中两组仅有两个欧拉角。
（三）确定坐标系转换的欧拉角
在可以实现两个坐标系转换的多组欧拉角中，有些欧拉角可以由已知条件直接获得。清楚欧拉角的来源，可以帮助学生快速确定合适的欧拉角及转动顺序。考虑下面的例子。设地球为一圆球，地心坐标系的原点在地心OE，OEXE轴在赤道平面内指向发射时刻的起始子午线并随地球一起转动，OEZE轴垂直于赤道平面指向北极。发射坐标系的原点与发射点o固连，发射点的经度为λ0、地心纬度为覫0；ox轴在发射点水平面内，与o点正北方向的夹角为α0；oy轴垂直于发射点水平面指向上方。从欧拉角的引入过程不难体会到，确定欧拉角关键是要找到两个坐标系的某两个轴所在的平面，并且能够确定这个平面在参考坐标系中的位置及平面内两个坐标轴的相对位置。在图3中，发射点o所在子午面正是这样一个平面，它是oy轴和OEZE轴所在平面，其位置可以用发射点的经度λ0来刻画，子午面内oy轴的位置可以用发射点的地心纬度覫0描述。由此可以确定使地心坐标系与发射坐标系各对应轴平行的三个欧拉角，λ0－90°、覫0、－（－90°＋α0），转动顺序为3、1、2。说明：这部分属于后续教学内容，不属于本次课内容。这里是为了表明学生自己“发明”欧拉角后，在确定坐标系转换的欧拉角时可以更加得心应手，因此老师在后续课堂教学中可以少用课时。
三、结束语
对于通过解决问题引入新知识的教学方式，我们有以下体会：1）设计的问题要容易解决，这样才能调动学生的积极性。在本次教学设计中，引子问题的求解仅用到了中学几何知识，能够调动学生的积极性和信心。2）与传统教学相比，这种教学方式可能需要多一些教学时间；但是由于学生对新知识的理解更为深刻，所以后续教学往往可以少用课时，总的教学时间是相当的，而教学效果会更好。在本次课中，让学生自己“发明”欧拉角的方式比“欧拉提出了欧拉角”一句话引入方式用的课时要多一些，但在后续教学“常用坐标系及其相互转换”中学生可以很快的确定常用坐标系之间的欧拉角，与传统教学方式相比可以少用课时。
作者：穆华 吴美平 潘献飞 单位：国防科学技术大学
