1无线电干涉测距模型
ＲIＲ采用“两发两收”的机制估计距离信息，其中4个节点A、B、C、D构成一个测量单元，测距原理如图1所示。节点A和B独立发射频率相近的高频载波信号，节点C和D测量这2个信号形成的拍频干涉信号的相位。C和D所测得的相位之差与4个节点构成的距离组合值(称为“干涉距离”)具有特定的约束关系。这种方法避免了对高频载波信号的处理，用低成本器件即可完成测量。为解决相位带来的整周模糊问题，A和B往往发射多个测量频率，分别记为fAi、fBi(i=0，…，M－1)，其中M为频率个数，而A与B的频率差一直保持恒定，即fAi－fBi=δ。令干涉距离的真实值为d0(后文简称“距离”)，它与各节点间的距离满足d0=dAD－dBD+dBC－dAC。则观测得到的相位差可近似为［6］:φ(i)≈2πficd0+n(i)(mod2π);i=0，…，M－1(1)φ(i)的主值区间为(－π，π］。其中fi为A、B发射频率的平均值，即fi=(fAi+fBi)/2。各个fi之间的关系满足fi=f0+i·Δf，i=0，…，M－1(2)式中:f0为起始频率，相邻频率的间隔为固定值Δf=B/(M－1)，其中B为发射机所用的总带宽。在式(1)中，c为光速，n(i)是M次相位测量过程引入的噪声，设n(i)为方差是σ2的独立同分布的高斯噪声［20］，记为:n(i)～N(0，σ2)(3)在后面的分析中把干涉测量系统的信噪比定义为SNＲ=1/σ2。相关研究表明φ(i)服从折叠高斯分布［20］，由于折叠高斯分布没有闭合表达式，很难得到干涉距离的最大似然估计。文献［17］指出在高SNＲ时式(1)可近似等价为单音频率估计模型，此时可采用MLE得到干涉距离估计值为:d^0=argmaxdV(d)(4)式(4)的代价函数为:V(d)=∑M－1i=0exp(jφ(i))exp－j2πfic{()}d(5)搜索区间为d∈d0－c2Δf，d0+c2Δ[]f。作为干涉距离的近似最大似然估计，式(5)避免了mod运算和对折叠噪声的处理，便于理论分析。因此本文也使用它作为ＲIＲ的最大似然估计模型。本文关注的问题如下:给定一组带有噪声的测量相位φ(i)，采用式(5)的MLE干涉距离估计模型对干涉距离d0进行估计，着重研究中低SNＲ区间的估计性能，借此最后得到在整个信噪比区间MLE的MSE。
2无线电干涉测距的性能分析
由第2节分析可知，ＲIＲ属于非线性估计问题，而这一类估计通常存在门限效应，即信噪比低于此门限时，估计值的MSE迅速偏离CＲB。干涉测距过程中某次最大似然估计的MSE与SNＲ的关系如图2所示。从图中看出，较高SNＲ时，MLE能够达到CＲB;随着SNＲ降低，当低于门限值时，估计误差迅速增大。这一现象的本质原因是，SNＲ的降低导致局部小误差(localerrors)变为全局误差(globalerrors)，称全局误差为“outli-er”［19］。为了全面描述ＲIＲ的测距精度，参考MIE方法［18］，将MSE分为两部分:一部分为CＲB;另一部分为outlier，当两部分发生的概率已知时，利用全概率公式，MSE可表示为:E［(d^0－d0)2］=［1－Pr(outlier)］·CＲB+Pr(outlier)·E［(d^0－d0)2|outlier］(6)式中:“outlier”表示代价函数的全局最大值在主瓣之外的事件。计算上式的关键在于求解Pr(outlier)，由于ＲIR的信号模型十分复杂很难直接分析，至今还没有文献做出完整的理论描述，3．1节针对这一问题对门限效应进行了研究，给出了Pr(outlier)的近似表达式;3．2节以此为基础，计算了干涉测距MLE的MSE。3．1outlier概率图3展现了低信噪比时某次测距中发生的outlier现象，由于相位噪声的影响，代价函数的全局最大值不在干涉距离的真值(d0=0)附近，而在主瓣之外较远的位置，导致出现较大的测距误差。有研究表明，发生outlier的概率与模糊函数正相关［19］，模糊函数定义为:g(d)=∑M－1i=0expj2πfic(d0－d())(7)即代价函数在无噪声情况下对应的值。图4采用20个频率得到的模糊函数与106次最大似然估计的直方图进行了对比，令d0=0，SNＲ=－3dB。很明显，直方图与模糊函数的形状吻合，并且outlier集中于模糊函数的旁瓣峰值附近。鉴于上述事实，发生outlier的概率可以用错估到模糊函数旁瓣峰值的概率表示，即:Po≈Pr［∪Npn=1{V(dn)＞V(d0)}］式中:Po表示发生outlier的概率Pr(outlier)，dn和Np分别表示模糊函数旁瓣峰值所在的位置和个数。由于2个及以上V(dn)同时大于V(d0)的概率很小，因此这一系列相交事件的和的概率可用其unionbound来近似，即:Po≈∑Npn=1pn(9)式中:pn=Pr［V(dn)＞V(d0)］。计算式(9)需要确定dn和Np，除了文献［19］提到的搜索法外，由于ＲIＲ使用等频率间隔测距，式(7)表示的模糊函数具有简化的表达形式，即:计算pn需要确定y0和yn的分布，但是由于n(i)属于乘性噪声，很难确定y0和yn的分布特征，这正是问题的难点所在。下面针对这一问题作近似处理。n(i)为一系列随机变量，则y0和yn均为M个独立同分布的随机变量之和。根据中心极限定理，M不用很大(30已足够)就可保证y0和yn服从正态分布，因此可以将y0和yn近似看作复高斯随机变量。又y0和yn是相关的，基于上述条件，直接利用文献［21］中附录B的结果，只需计算y0和yn的一阶二阶矩就可求得pn。为相对旁瓣水平(relativesidelobelevel)。将式(16)～(19)代入文献［21］中的B-21式，通过代数运算可得:pn的表达式仅依赖于3个量:相位噪声的方差σ2、测量频率数M，以及相对旁瓣水平rn。将式(21)代入式(9)即可求得outlier的概率Po3．2近似均方误差要根据式(6)计算MLE的MSE，还需要知道CＲB。文献［17］在高信噪比时将乘性噪声等效为加性噪声，推导了ＲIＲ的近似CＲB表达式:CＲB=3c2σ2(M－1)π2B2M(M+1)(23)大量仿真表明，在SNＲ大于门限的很宽范围内，MLE都能达到这个界，因此式(23)可以作为ＲIＲ的CＲB使用。将式(9)和式(23)代入式(6)，最后得到MSE的近似解析表达式为:E［(d^0－d0)2］≈(1－∑Npn=1pn)·CＲB+∑Npn=1pn·(dn－d0)2(24)式中:Np、dn和pn分别由式(11)、(12)和(21)给出，它们由如下的4个系统设计参数唯一确定:测量信噪比1/σ2、系统带宽B、测量起始频率f0和测量频率数M。
3仿真结果与分析
本节的目的在于通过对仿真结果与理论值的对比，说明本文的理论推导是合理有效的，同时说明理论结果对实际应用中参数设置的指导意义。图5和图6分别仿真了outlier概率与MSE随SNＲ的变化情况。干涉距离的真实值d0=50，在带宽B=15MHz内等间隔取M=16个频率，在最大非模糊距离范围内对代价函数进行搜索，搜索步长为0．01m。进行105次MonteCarlo仿真，记录代价函数的最大值落在模糊函数主瓣之外(两侧)的区域发生的频率，并计算MSE。虚线分别为式(9)和式(24)对MLE的outlier概率与MSE的理论计算结果。从图中可以看出，式(9)计算的outlier概率和式(24)计算的近似MSE，对于描述干涉测距性能十分准确，尤其在门限附近及中高SNＲ区间十分吻合。在一定相位测量噪声和系统设计参数下，上述结果能够十分精确地预测当前的干涉距离估计精度。因此给定ＲIＲ的性能要求，就可以根据上述结果确定适当的系统设计参数。例如，在图6的参数设置下，若当前相位测量的SNＲ=－1，此时理论计算表明outlier的影响不能忽略，测距均方根误差＞10m。如果适当提高节点的发射功率，使得SNＲ=3，则根据计算均方根误差就可以降到1m左右。虽然在给定系统性能的情况下，也可以通过仿真方法确定系统的设计参数，但是理论计算方法可以大大节省设计时间。当接收信号过强时，ＲSSI的输出会到达非线性区而大大影响测距性能。因此，通常不能一味提高发射节点的功率，此时还可以通过调整测量频率数达到提高测距性能的目的。图7在SNＲ=1的条件下仿真了MSE和测量频率数M的关系。当M＜30时，outlier导致测距MSE偏离CＲB，此时将M从10增加到30，测距精度提高了10m;当M＞30时，测距MSE沿着CＲB缓慢下降，继续增加20个频率，测距精度仅有1m的提升。因此如果同时考虑到测量的实时性要求，则将测量频率数设置到30是比较好的选择。从图7也可以看出，MSE的理论计算结果与仿真得到的结论高度一致，因此此前只能通过仿真确定的测量参数现在可以通过理论计算更方便地确定。
4测量实验
本节利用ＲIＲ实验系统在实际环境中的测量实验结果与本文给出的理论预测结果进行了对比，验证了理论预测的有效性。实验系统和实验环境:实验系统由4个Crossbow公司的XSM传感器节点组成，这些测量节点在空旷的操场上一字布设(见图8)，其中节点如图中照片所示。图中A、B为ＲIＲ测量的发射节点，C、D为接收节点。A与C、B与D的间隔均为25m，C与D间隔50m。另有一个基站负责向上述测量节点发送控制命令和参数并收集测距结果至笔记本电脑进行干涉距离解算。系统中心频率为433．1MHz，工作带宽为B=42．08MHz。实验过程:1)适当调节各节点发射功率以使接收节点可以接收到发射节点的信号，同时避免出现饱和情况;2)发射节点以1．052MHz为基本间隔，依次发射41个不同频率的测量信号;3)各接收节点测量发射信号形成的拍频信号的相位并传输给基站;4)重复步骤2和3直到完成50轮测距。将测得的相位与真实值比较估算出当前实验环境对应的信噪比为SNＲ=－1．76。这时理论预测的MSE与测量频率数M间的关系为图9中虚线所示。当M等于41、21、11和6时(分别对应频率间隔为1、2、3和4倍的基本间隔)，根据测量结果解算出的干涉距离的MSE如图9中的星号所示。从中可以看出，由实验数据得到的测距误差MSE与本文推导的理论MSE十分接近，说明我们的理论结果能够较好地描述系统的测距性能，包括测量噪声较大时的性能。
5结论
本文对广受关注的无线电干涉测距方法的精度进行了分析，推导了最大似然估计的均方误差与相位测量信噪比、系统带宽、测量频率数等参数之间的近似关系式。该关系式能够准确地描述ＲIＲ系统的门限效应，因此能够在整个的高、中和低信噪比区间很好地描述系统的性能。由于相位噪声的折叠特性，ＲIＲ的门限效应分析十分困难，因此本文对ＲIＲ门限效应的准确刻画具有重要的理论意义;在实际环境中经常遇到相位测量噪声较大的情形，因此本文推导出的适用于完整信噪比区间的最大似然估计均方误差表达式也具有重要的实用价值。
作者：张悦齐望东 刘鹏 威力 单位： 解放军理工大学网络工程教研中心
