1轮系的单元分析方法
1．1复杂轮系结构分解
轮系可分为定轴轮系和行星轮系。定轴轮系中所有齿轮轴线相对机架位置均固定;行星轮系至少有一个齿轮的轴线相对于机架的位置不固定。复杂轮系是由定轴轮系和行星轮系构成的传动系统。轮系构成的复杂性增大了其分析与建立数学模型的难度，进而增大了后续方案设计的难度。一般地，复杂系统的构成分解是简化其研究的一种有效方法。系统构成分解具有很强和很明确的目的性，其分解的层次在一定程度上决定了后续建模的复杂度及设计可行解的局限度。本文为便于建立复杂轮系运动方案设计的数学模型，以齿轮机构作为其研究基本要素进行运动构成分解。图1所示的轮系可拆分为4个基本齿轮机构:两自由度的外啮合圆柱齿轮机构和圆锥齿轮机构，单自由度的内啮合圆柱齿轮机构和圆锥齿轮机构，具体如图2所示。其中，各单元中的构件以数字和H标识，H为行星轮系的系杆。构成复杂轮系的齿轮机构是传递运动变换的基本载体，是复杂轮系基本运动构成要素，即是单元化分析方法的研究对象。
1．2轮系方案设计的单元分析法
轮系方案设计的单元分析法通过离散与分解轮系构成，利用单元及单元组合进行轮系分析与综合。本文通过分析轮系运动构成规律，确定轮系基本单元的基本构型，并给出其定义:能够独立完成运动变换且不可继续拆分成两个或多个独立运动的齿轮机构，称为轮系基本单元，简称基本单元。任何复杂轮系均可由运动变换基本单元连接组合构成。单元组合的实质是施加连接约束。根据单元的连接约束，其组合方式可以是串联、并联或混联。单元自身特性、单元之间连接约束和组合方式直接决定了整个轮系的特性。因此，轮系方案设计的单元分析与建模方法是首先在深入分析轮系基本单元特性及输入输出特征的变换规律基础上，研究单元各组合方式下构件的连接约束特征及组合特征;然后通过建立基本单元的特征模型及连接约束组合模型描述轮系的系统特征。轮系的系统特征数学模型是轮系方案设计的基础。
2轮系基本单元构型设计
基本单元是轮系中最小功能转化实体，其构型决定了轮系运动变换特征;其数量直接影响轮系可行方案的多寡。因此，基本单元构型设计是轮系方案设计的关键问题之一。本文提出了基于基本单元原型、利用其拓扑结构不变性特征进行基本单元构型的设计方法。
2．1轮系基本单元原型及其拓扑结构
轮系基本单元的基本构型是单自由度和双自由度的齿轮机构，其他基本单元可通过基本构型的变异演化得到。在此，轮系基本单元的基本构型称为基本单元原型，图3a和图3b分别为单自由度和双自由度基本单元原型。两种基本单元分别具有定轴回转和行星回转运动特征。机构的运动副、构件等运动构成要素以一定的方式连接，构成了机构拓扑结构。机构拓扑结构主要描述了构成要素及其相互邻接关系，而不考虑诸元素大小和元素之间的距离。分析基本单元原型机构的拓扑特征可知，单自由度基本单元原型拓扑结构特征为含有一个齿轮副、两个转动副和三个构件;双自由度基本单元原型拓扑结构特征为含有一个齿轮高副、三个转动低副和四个构件。若约定实心圆和空心圆分别表示齿轮副(GP)和转动副(ＲP)，实线表示构件，单双自由度基本单元原型机构的拓扑结构可分别描述为图4a和图4b。基本单元拓扑图直观地描述了基本单元原型机构的构成要素类型和数量、要素间的邻接关系。
2．2轮系基本单元的构型图谱
基本单元的拓扑结构决定于构件和运动副的类型、数目以及构件与运动副之间的连接关系。同构基本单元可具有不同的运动构型。基于基本单元原型及其拓扑结构的不变性，以及构件运动特征变换、齿轮结构类型和啮合类型变换规律，可推衍出不同的单元构型，进而可建立完善的基本单元构型图谱。构件的运动特征提取包括运动类型、运动方向及运动属性的提取。轮系中的构件运动类型主要为定轴回转运动、行星回转运动及零运动(固定构件)。其运动方向仅有正反向的回转;运动属性为连续的匀速回转。因此，影响基本单元变异的运动特征主要是构件的运动类型。轮系中构件类型的变异是运动类型的转换，即机架变换。轮系基本单元中的构件类型有机架、齿轮和行星架。由于一对齿轮是通过齿轮副实现动连接的，即与齿轮副邻接的构件类型为齿轮;而与齿轮副非邻接的构件则为机架或行星架。若基本单元的一个构件指定为机架，根据齿轮副在基本单元拓扑图中的位置，即可确定基本单元中其他构件的类型及基本单元的类型。如图4a所示的单自由度基本单元，构件2和构件3为齿轮，若非齿轮构件为机架时，该基本单元类型为定轴齿轮机构，如图5a所示;若齿轮2或齿轮3为机架时，该基本单元中构件1为行星架，且行星架的回转轴线固定，如图5b所示。同理，双自由度基本单元的机架变换后得到的两种基本单元构型的拓扑图见图5c和图5d。通过对同构基本单元进行齿轮结构类型和啮合类型变换，可获得不同的单元构型。齿轮结构类型可分为圆柱齿轮和圆锥齿轮。啮合类型有内啮合和外啮合。单自由度基本单元经过齿轮结构及啮合类型变换，可得到7种单元构型，如图6所示。同理，双自由度基本单元变换后可得到6种构型，其中3种构型中出现2个行星架邻接现象，从运动角度分析可知，其中的1个行星架冗余，去除冗余构型，双自由度基本单元变换后得到3种有效构型，如图7所示。综上，利用基本单元的拓扑结构、构件的运动和结构类型及齿轮啮合类型的变换，获得了10种单/双自由度和内/外啮合的圆柱和圆锥齿轮基本单元构型图谱。
3轮系基本单元的特征状态建模
3．1特征状态向量
基本单元的运动类型包括定轴回转和行星回转运动。运动方向通过建立笛卡儿坐标系进行描述。运动属性描述运动的连续性、稳定性及其输入输出的变换特征等。轮系的主要特征属性是运动连续、稳定及输入输出的线性变换。根据状态空间理论可知，系统状态可以由一组独立变量来描述，并称以这组变量构成的向量为状态向量。在机械装置中，运动特征变换实质是特征状态的转变。因此，定义一组变量描述轮系系统或基本单元的运动特征，称之为运动特征状态向量。首先建立基本单元的笛卡儿坐标系:以基本单元输入构件运动平面为坐标系的Oxy平面，以该构件的运动方向为x方向，以回转中心为坐标原点O。类似地，建立各构件的坐标系，并保持构件坐标系各坐标轴与基本单元的相应坐标轴同向。基本单元坐标系为定坐标系，构件坐标系为动坐标系，可利用构件坐标系相对基本单元坐标系的运动关系，描述具有行星运动的构件的特征。轮系运动特征状态向量K定义为K=(KA，KB)T，简称特征向量，其中，KA表示构件坐标系在基本单元坐标系中的运动特征，KB表示构件在自身坐标系中的运动特征。对于具有定轴回转运动的构件，特征向量中分量KA为零向量;对于行星运动构件，KA为非零向量。由于轮系各构件以回转运动为特征，其特征状态变量定义为角速度在不同坐标系下的三向分量KA=(wAx，wAy，wAz)和KB=(wBx，wBy，wBz)，并规定当构件沿轴线方向逆时针转动时转速为正，变量值描述其运动属性值。运动特征状态向量很好地表达了系统的运动特征，是建立轮系特征模型的基础。
3．2轮系基本单元的运动特征建模
基本单元的运动特征变换是输出运动特征相对于输入运动特征的变换，即由给定的输入构件特征向量转换为输出构件的特征向量。这种变换关系可抽象为数学描述，并可进一步构建运动变换的特征状态方程。3．2．1轮系基本单元运动特征方程理论上，基本单元除固定的机架外，其他任何构件均可作为输入构件或输出构件。其中，第j个输入构件的运动特征向量Kij=(wijAx，wijAy，wijAz，wijBx，wijBy，wijBz)T;第j个输出构件的运动特征向量Koj=(wojAx，wojAy，wojAz，wojBx，wojBy，wojBz)T。根据轮系基本单元输入输出运动变换的线性特征，其特征状态方程为线性方程，可采用矩阵形式进行描述。特征状态变换矩阵A描述了输入特征状态向量和输出特征状态向量间的变换关系。矩阵中的非零元素的位置表明输入输出特征向量间方向变换关系;非零元素值代表了两特征向量间变换的运动特征属性值。同时，特征状态变换矩阵A反映了基本单元的变换特征，任一基本单元均可由其进行描述。因此，A可作为计算机信息存储特征。3．2．2单自由度基本单元运动特征模型单自由度轮系基本单元是单输入单输出机构，仅有2个运动构件，如图6所示。由前述可知，平行轴圆柱齿轮基本单元和90°轴交角的圆锥齿轮基本单元，由于只有一个输入构件和一个输出构件，式(1)和式(2)的运动特征向量均为一维。由式(3)可知，基本单元的特征状态变换矩阵A为6×6阶矩阵。根据基本单元坐标系构建规则，输入、输出特征状态向量中的非零元素位置由输出构件的运动类型和方向决定。定轴回转运动的特征向量分量KA为零向量;行星运动的特征向量分量KA为非零向量。特征状态变换矩阵A的非零元素aij的数量、位置由输入输出特征向量确定，其值由基本单元构型及参数决定。如图6a所示的基本单元，其运动构件均具有固定回转轴线，输入和输出特征向量平行且l=k=4，则特征状态变换矩阵非零元素为a44，其值woBxwiBx为齿轮机构的传动比值im=z2z1。同理，其他单自由度基本单元特征模型均可由式(4)求得。3．2．3双自由度基本单元运动特征模型双自由度轮系基本单元具有2个输入构件和1个输出构件，依据式(1)建立输入特征状态向量Ki=(KiA1，KiB1，KiA2，KiB2)T和输出特征状态向量Ko=(KoA，KoB)T，其特征状态方程同样满足式(3)，变换矩阵A为6×12阶矩阵。同理，特征状态变换矩阵中的非零元素、位置同样由输入与输出特征向量确定，其值由单元传动比决定。
3．3轮系基本单元存储
特征状态变换矩阵反映了基本单元的特征信息，并表达了输入输出特征向量间的关系，因此，将其作为信息存储模型，便于实现计算机辅助设计。对于同一个基本单元，不同的输入输出具有不同的特征状态变换矩阵。基本单元的特征信息提取为:自由度、输入输出构件、特征状态变换矩阵的非零元素位置及特征值。基本单元的这些特征的存储是后续实现计算机方案设计的知识源。
4结论
(1)单元化方法是简化复杂轮系分析和综合的有效方法，特别利于简化系统综合的数学模型。(2)利用机构拓扑结构不变性，对轮系基本单元原型机构进行变异演化，可获得完善的轮系基本单元构型。(3)运动特征状态向量准确描述了运动属性;特经济管理论文征状态变换矩阵描述了基本单元的特征;运动特征状态方程有效地表达了输入输出特征变换关系。基本单元的数学模型为轮系运动分析和方案设计提供了模型支撑。
作者：马雅丽 张永珍 单位：大连理工大学
