数学教学是教师的教和学生的学的双边活动。数学教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。数学教学中的“对话”，就是“教师与学生以教材内容为“话题”共同去生成和创造“文本”，去构造“意义”的过程，它强调的是师生的交往和互动。基于几何画板的对话式教学，就是在利用几何画板软件做数学实验的同时，通过教学对话，实现数学知识“在对话中生成，在交流中重组，在共享中倍增”。这也正符合《高中数学课程标准》提出的“在数学教育中，评价应建立多元的目标，关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作、表达与交流的意识和探索的精神”。下面以一节《函数单调性》课堂教学为例，谈谈自己的一些体会。
一、温故知新，在对话中生成新课
奥苏贝尔认为：“影响学习最重要的因素是学生己知的内容，弄清了这一点之后，进行相应的教学。”回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数等，学生随意选定以上几个函数的具体解析式，利用几何画板软件画出相应的函数图像。教师：请同学们结合自己画出的图形，观察所画•34•函数图像的升降变化，并说说自己的看法。学生1：从左至右看，一次函数的图像是上升的。学生2：从左至右看，二次函数在Y轴左侧是下降的，在Y轴右侧是上升的。学生3：从左至右看，反比例函数的图像在Y轴两侧是下降的。教师：比较所画的函数图像的升降变化情况，说一说它们的不同点。在这里，教师启发、鼓励学生畅所欲言，进行交流和讨论，表达出自己的看法。学生4：所画的图像有上升的，也有下降的。教师：那么它们上升或下降的范围有多大?学生5：可能是定义域上，也可能是定义域的某个区间。教师：所画的函数图像升降变化，不同函数相应升降变化区间各不一样，表现为：在某些区问上升，某些区间下降。我们常说：“数学是有用的，数学是自然的。”学生运用已有的知识，利用几何画板软件绘图，并从图像变化中获取对函数单调性的直观感知，建立数与形的结合，温故知新，符合学生的认知规律。这里，不同层次的学生亲身经历了做数学实验的过程，通过人机互动，实现了实践性对话。教师更多地启发学生输入具体函数解析式，亲自动手操作，在动态状态下观察图像的变化趋势以及升降特点，体会某一种函数在不同区间上的变化差异。此时，“教师越来越少地传递知识，越来越多地激励思考”，通过与学生对话，新的教学内容不断地生成与转化，师生共同分享理解新知识。
二、创设多元联系表示形式，在交流中重组，并建构单调函数概念
华罗庚说：“形缺数时难人微，数缺形时少直观。”以函数g(X)=X为例。教师：函数g(X)=X图像在Y轴右侧是上升的，在函数g(X)=X图像上任找一点P“按横坐标(即自变量)X增大”的方式移动时，点P的纵坐标(即函数值)Y的变化规律如何?教师指导学生利用几何画板软件的“度量坐标”功能，在函数g(X)=X图像上任找一点P并拖动它，测出其坐标。学生自主观察，并思考问题。学生6：在Y轴右侧，拖动点P，随着自变量x的增大，函数值Y也增大。师生间、学生间相互沟通，相互补充，达成共识，总结规律后，给出增(减)函数的自然语言描述。学生7：在某个区间I上，若随着自变量X的增大，函数值y也增大；在区间I上，若随着自变量X的增大，函数值y减少。在这里，学生学会用自然语言描述图像“上升”、“下降”的特征，学生对单调函数概念的学习，从定性分析过渡到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述。教师指导学生利用几何画板软件进行如下操作：(1)在区间[0，+oo)上，从0开始，拖动点P，每隔0．1秒取一个自变量的值，算出其对应的函数值表(如图1(1)所示)。(2)在区间[0，+oo)上，从2开始，拖动点P，每隔0．5秒取一个自变量的值，算出对应的函数值表(如图1(2)所示)。(3)在区间[0，+oo)上，从5开始，拖动点P，每隔1秒取一个自变量的值，算出其对应的函数值表(如图1(3)所示)。(4)在区间[0，+。。)上，从0开始，拖动点P，任选一个自变量的值作起点，随机地取一批自变量的值，算出其对应的函数值表(如图1(4)所示)。教师：结合以上的实验操作，观察以上表格中，自变量X的值从小到大变化时，函数值Y是如何变化的。学生通过自己动手操作进行尝试，得到对应的函数值表，进行数据分析，各自表述发现的规律。教师及时抓住时机，鼓励学生大胆用自己的语言回答问题，教师加以纠正和引导，并给予评价，形成正确的结论：任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大。教师：由于刚刚所验证的是一些具体的有限个的自变量的值，如果任意给出一些[0，+O0)上的x，X的值，当X<x时，能否验证都有X<X；呢?学生8：如果给出具体数值，容易验证，但区间内的值有无限个。学生陷人思考之中，不知如何是好。一会儿后，有学生提出：不给X，X赋具体数值，当X<X时，验证X<X成立，行吗?学生9：太好了，这就体现X，X：取值的任意性了。学生10：若x<x；成立，转化为验证X一X；<0即可。此时，课堂气氛也活跃起来，大家进行热烈讨论，教师参与其中，师生在相互倾听和接纳过程中，更好地理解知识和珍视差异。学生11(交流讨论后)：事实上，。．‘x1+x2>0，X1一X．<0．‘．f(X1)一f(X2)=X—X=(X1+X2)(Xl—X2)<0，得X<X即f(X1)<f(X2)。以上表述过程，教师引导学生用函数解析式来描述。再次操作确认，通过逻辑推理，从理论上给出单调函数定义形式化的表达。正如波利亚在《怎样解题》中提到的：“严格表述的数学是一门系统的演绎科学，但在形成过程中的数学则是一门实验性的归纳科学。”教师：我们把具有函数值随着自变量的增大而增大这种性质的函数叫增函数。教师：我们应如何定义增函数?教师进一步从具体函数g(X)=X延伸到一般函数Y=f(X)，引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，完善后给出增函数的定义，从具体到一般引出增函数的定义。教师：从函数图像上可以看到，函数g(X)=X在Y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出什么结论?学生通过观察、验证，讨论、交流，师生共同得出减函数的定义，由此培养学生的类比能力。教师：大家能分析一下增(减)函数定义中的要点吗?教师首先让学生自主阅读课本中的概念，寻找增(减)函数定义的要点，在此基础上，教师指导学生体会定义中关键字、词和句，如：“某个区间D上的任意两个自变量的值”、“都有”等。学生l2：我们能说函数g(X)=X在X=0是增函数吗?学生13：不行吧，概念中指明单调区间内取值。教师：非常好，说明大家阅读是比较认真的，函数在某一个点处是没有单调性的。通过定义分析，实现师生和文本对话，学生把定义与图形结合起来，使新旧知识融为一体，加深对单调函数概念的理解，同时也渗透数形结合的数学思想。
三、深入自主探究，在共享中巩固并倍增新知
教师：请同学们利用几何画板软件，画出函数Y=X一3x一9x在(一3，5)内的图像，并指出它的单调区间。教师：现在我们来思考必修一课本中的探究题：•36•函数f(x)=的定义域I是什么?它在定义域I上的单调性是怎样的?你能用定义证明自己的结论吗?学生14：定义域I是(一∞，0)u(0，+。。)，函数在定义域上是减函数。学生15：好像不对吧，从函数图像上看，从左至右，它的图像不是一直下降的。学生16：现取两个值，X=一1，X：=1，可得f(X1)=一1，f(X2)=1此时X1<X2，f(X1)<f(X2)。学生一下子感觉茫然了，找不出问题关键所在。教师：回到定义，大家是否注意到这样的话：“某个区间D上的任意两个自变量的值”，这里任意两个自变量的值是否应该在同一个单调区间来取值呢?如何更_tY_．fl0才获得的结论呢?学生17：函数f(X)在区间(一∞，0)和(0，+∞)上是减函数。教师：回答很好。如何证明你们的结论呢?学生18(交流讨论后)：任取0<x<x2，所以x一x1>0，X1‘2>0则f(x1)一f(x2)=一=>o所以函数f(X)在区间(0，+∞)上是减函数，同理可证，函数f(X)在区间(一o。，0)也是减函数。教师：以上题目的解题过程，请大家概括一下用定义证明一个函数是某个区间上的增(减)函数的一般步骤。学生(协作讨论)：取值一作差一判断符号一得出结论。
四、回顾总结
在拓展延伸中，提升对话的整体意义构建教师：根据本节课所学内容，请同学们思考以下几个问题：(1)通过增(减)函数概念的形成过程，你学习到了什么?(2)增(减)函数的图像有什么特点?如何根据图像指出单调区间?(3)怎么用定义证明函数的单调性?一般步骤如何?有哪些需要注意的?这里，师生再次进行反思性对话，通过提问和回答，交流与探讨，不断完善所学内容的归纳总结。对话式教学促进了知识结构网络的构建，知识条理化，提升了学生应用知识的能力。教师进一步强化学习效果，利用几何画板软件，进行以下几个问题的探究：(1)给实数a赋不同的值，并画出函数Y=旦(aX≠O)的图像，讨论这个函数的单调性，并给出证明。1(2)继续探究函数Y=x+的单调性，函数Y=XX+三(a≠O)呢?X全体学生利用几何画板绘图等功能，课后继续对以上问题作深人探究。教师针对学生个体的差异设置分层练习，既注重课内基础知识的掌握，又兼顾了有余力的学生的能力的提高。通过拓展和延伸，学生进行探究性学习，渗透数形结合等数学思想方法，提高学生实际应用能力。总之，基于几何画板的对话式数学教学，是一个师生交往、积极互动、共同发展的教学对话过程，它促进了教学内容的持续生成和转化，达成了课程意义不断建构和提升的目的。
作者：潘颖艺 单位：晋江市养正中学
